გადაწყვიტეთ {l}{6x-y=-23}{-8x-4y=4}

$$\left\{ \begin{array}{l}{ 6 x - y = - 23 }\\{ - 8 x - 4 y = 4 }\end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-3$$

$$y=5$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$6x-y=-23,-8x-4y=4$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$6x-y=-23$$

მიუმატეთ y განტოლების ორივე მხარეს.

$$6x=y-23$$

ორივე მხარე გაყავით 6-ზე.

$$x=\frac{1}{6}\left(y-23\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{6}-ზე y-23.

$$x=\frac{1}{6}y-\frac{23}{6}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-23+y}{6}-ით x მეორე განტოლებაში, -8x-4y=4.

$$-8\left(\frac{1}{6}y-\frac{23}{6}\right)-4y=4$$

გაამრავლეთ -8-ზე \frac{-23+y}{6}.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{92}{3}-4y=4$$

მიუმატეთ -\frac{4y}{3} -4y-ს.

$$-\frac{16}{3}y+\frac{92}{3}=4$$

გამოაკელით \frac{92}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{16}{3}y=-\frac{80}{3}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{16}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=5$$

ჩაანაცვლეთ 5-ით y აქ: x=\frac{1}{6}y-\frac{23}{6}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{1}{6}\times 5-\frac{23}{6}$$

გაამრავლეთ \frac{1}{6}-ზე 5.

$$x=\frac{5-23}{6}$$

მიუმატეთ -\frac{23}{6} \frac{5}{6}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=-3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-3,y=5$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$6x-y=-23,-8x-4y=4$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}6&-1\\-8&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-23\\4\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}6&-1\\-8&-4\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-1\\-8&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-1\\-8&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-1\\-8&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-23\\4\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-1\\-8&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-23\\4\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-1\\-8&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-23\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{6\left(-4\right)-\left(-\left(-8\right)\right)}&-\frac{-1}{6\left(-4\right)-\left(-\left(-8\right)\right)}\\-\frac{-8}{6\left(-4\right)-\left(-\left(-8\right)\right)}&\frac{6}{6\left(-4\right)-\left(-\left(-8\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-23\\4\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-\frac{1}{32}\\-\frac{1}{4}&-\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-23\\4\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\left(-23\right)-\frac{1}{32}\times 4\\-\frac{1}{4}\left(-23\right)-\frac{3}{16}\times 4\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-3,y=5$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$6x-y=-23,-8x-4y=4$$

იმისათვის, რომ 6x და -8x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -8-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 6-ზე.

$$-8\times 6x-8\left(-1\right)y=-8\left(-23\right),6\left(-8\right)x+6\left(-4\right)y=6\times 4$$

გაამარტივეთ.

$$-48x+8y=184,-48x-24y=24$$

გამოაკელით -48x-24y=24 -48x+8y=184-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-48x+48x+8y+24y=184-24$$

მიუმატეთ -48x 48x-ს. პირობები -48x და 48x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$8y+24y=184-24$$

მიუმატეთ 8y 24y-ს.

$$32y=184-24$$

მიუმატეთ 184 -24-ს.

$$32y=160$$

ორივე მხარე გაყავით 32-ზე.

$$y=5$$

ჩაანაცვლეთ 5-ით y აქ: -8x-4y=4. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-8x-4\times 5=4$$

გაამრავლეთ -4-ზე 5.

$$-8x-20=4$$

მიუმატეთ 20 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-8x=24$$

ორივე მხარე გაყავით -8-ზე.

$$x=-3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-3,y=5$$