გადაწყვიტეთ {l}{4x+y=-2}{5x-2y=-48}

$$\left\{ \begin{array}{l}{ 4 x + y = - 2 }\\{ 5 x - 2 y = - 48 }\end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-4$$

$$y=14$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$4x+y=-2,5x-2y=-48$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$4x+y=-2$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=-y-2$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y-2\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{4}-ზე -y-2.

$$x=-\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{y}{4}-\frac{1}{2}-ით x მეორე განტოლებაში, 5x-2y=-48.

$$5\left(-\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}\right)-2y=-48$$

გაამრავლეთ 5-ზე -\frac{y}{4}-\frac{1}{2}.

$$-\frac{5}{4}y-\frac{5}{2}-2y=-48$$

მიუმატეთ -\frac{5y}{4} -2y-ს.

$$-\frac{13}{4}y-\frac{5}{2}=-48$$

მიუმატეთ \frac{5}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{13}{4}y=-\frac{91}{2}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{13}{4}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=14$$

ჩაანაცვლეთ 14-ით y აქ: x=-\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{1}{4}\times 14-\frac{1}{2}$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{4}-ზე 14.

$$x=\frac{-7-1}{2}$$

მიუმატეთ -\frac{1}{2} -\frac{7}{2}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=-4$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-4,y=14$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$4x+y=-2,5x-2y=-48$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-48\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}4&1\\5&-2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-48\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-48\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-48\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4\left(-2\right)-5}&-\frac{1}{4\left(-2\right)-5}\\-\frac{5}{4\left(-2\right)-5}&\frac{4}{4\left(-2\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-48\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{1}{13}\\\frac{5}{13}&-\frac{4}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-48\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\left(-2\right)+\frac{1}{13}\left(-48\right)\\\frac{5}{13}\left(-2\right)-\frac{4}{13}\left(-48\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\14\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-4,y=14$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$4x+y=-2,5x-2y=-48$$

იმისათვის, რომ 4x და 5x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 5-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე.

$$5\times 4x+5y=5\left(-2\right),4\times 5x+4\left(-2\right)y=4\left(-48\right)$$

გაამარტივეთ.

$$20x+5y=-10,20x-8y=-192$$

გამოაკელით 20x-8y=-192 20x+5y=-10-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$20x-20x+5y+8y=-10+192$$

მიუმატეთ 20x -20x-ს. პირობები 20x და -20x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$5y+8y=-10+192$$

მიუმატეთ 5y 8y-ს.

$$13y=-10+192$$

მიუმატეთ -10 192-ს.

$$13y=182$$

ორივე მხარე გაყავით 13-ზე.

$$y=14$$

ჩაანაცვლეთ 14-ით y აქ: 5x-2y=-48. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$5x-2\times 14=-48$$

გაამრავლეთ -2-ზე 14.

$$5x-28=-48$$

მიუმატეთ 28 განტოლების ორივე მხარეს.

$$5x=-20$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$x=-4$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-4,y=14$$