გადაწყვიტეთ {l}{2x+24y=2110}{12x+6y=30}

$$\left\{ \begin{array}{l}{ 2 x + 24 y = 2110 }\\{ 12 x + 6 y = 30 }\end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = -\frac{995}{23} = -43\frac{6}{23} \approx -43.260869565$$

$$y = \frac{2105}{23} = 91\frac{12}{23} \approx 91.52173913$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x+24y=2110,12x+6y=30$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x+24y=2110$$

გამოაკელით 24y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=-24y+2110$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(-24y+2110\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე -24y+2110.

$$x=-12y+1055$$

ჩაანაცვლეთ -12y+1055-ით x მეორე განტოლებაში, 12x+6y=30.

$$12\left(-12y+1055\right)+6y=30$$

გაამრავლეთ 12-ზე -12y+1055.

$$-144y+12660+6y=30$$

მიუმატეთ -144y 6y-ს.

$$-138y+12660=30$$

გამოაკელით 12660 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-138y=-12630$$

ორივე მხარე გაყავით -138-ზე.

$$y=\frac{2105}{23}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{2105}{23}-ით y აქ: x=-12y+1055. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-12\times \frac{2105}{23}+1055$$

გაამრავლეთ -12-ზე \frac{2105}{23}.

$$x=-\frac{25260}{23}+1055$$

მიუმატეთ 1055 -\frac{25260}{23}-ს.

$$x=-\frac{995}{23}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{995}{23},y=\frac{2105}{23}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x+24y=2110,12x+6y=30$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&24\\12&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2110\\30\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&24\\12&6\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&24\\12&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&24\\12&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&24\\12&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2110\\30\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&24\\12&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2110\\30\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&24\\12&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2110\\30\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{2\times 6-24\times 12}&-\frac{24}{2\times 6-24\times 12}\\-\frac{12}{2\times 6-24\times 12}&\frac{2}{2\times 6-24\times 12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2110\\30\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{46}&\frac{2}{23}\\\frac{1}{23}&-\frac{1}{138}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2110\\30\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{46}\times 2110+\frac{2}{23}\times 30\\\frac{1}{23}\times 2110-\frac{1}{138}\times 30\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{995}{23}\\\frac{2105}{23}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-\frac{995}{23},y=\frac{2105}{23}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x+24y=2110,12x+6y=30$$

იმისათვის, რომ 2x და 12x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 12-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$12\times 2x+12\times 24y=12\times 2110,2\times 12x+2\times 6y=2\times 30$$

გაამარტივეთ.

$$24x+288y=25320,24x+12y=60$$

გამოაკელით 24x+12y=60 24x+288y=25320-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$24x-24x+288y-12y=25320-60$$

მიუმატეთ 24x -24x-ს. პირობები 24x და -24x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$288y-12y=25320-60$$

მიუმატეთ 288y -12y-ს.

$$276y=25320-60$$

მიუმატეთ 25320 -60-ს.

$$276y=25260$$

ორივე მხარე გაყავით 276-ზე.

$$y=\frac{2105}{23}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{2105}{23}-ით y აქ: 12x+6y=30. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$12x+6\times \frac{2105}{23}=30$$

გაამრავლეთ 6-ზე \frac{2105}{23}.

$$12x+\frac{12630}{23}=30$$

გამოაკელით \frac{12630}{23} განტოლების ორივე მხარეს.

$$12x=-\frac{11940}{23}$$

ორივე მხარე გაყავით 12-ზე.

$$x=-\frac{995}{23}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{995}{23},y=\frac{2105}{23}$$