გადაწყვიტეთ {l}{x/3+y/4=5/6}{3x+20y/5-frac{8y+1}{3}=frac{12x+16y}{15}}

$$\left\{ \begin{array}{l}{ \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 4 } = \frac { 5 } { 6 } }\\{ \frac { 3 x + 20 y } { 5 } - \frac { 8 y + 1 } { 3 } = \frac { 12 x + 16 y } { 15 } }\end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=1$$

$$y=2$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 12-ზე, 3,4,6-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$4x+3y=10$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 15-ზე, 5,3,15-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$3\left(3x+20y\right)-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 3x+20y-ზე.

$$9x+60y-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -5 8y+1-ზე.

$$9x+60y-40y-5=12x+16y$$

დააჯგუფეთ 60y და -40y, რათა მიიღოთ 20y.

$$9x+20y-5=12x+16y$$

გამოაკელით 12x ორივე მხარეს.

$$9x+20y-5-12x=16y$$

დააჯგუფეთ 9x და -12x, რათა მიიღოთ -3x.

$$-3x+20y-5=16y$$

გამოაკელით 16y ორივე მხარეს.

$$-3x+20y-5-16y=0$$

დააჯგუფეთ 20y და -16y, რათა მიიღოთ 4y.

$$-3x+4y-5=0$$

დაამატეთ 5 ორივე მხარეს. თუ რიცხვს მივუმატებთ ნულს, მივიღებთ იმავე რიცხვს.

$$-3x+4y=5$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$4x+3y=10,-3x+4y=5$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$4x+3y=10$$

გამოაკელით 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=-3y+10$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+10\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{4}-ზე -3y+10.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{3y}{4}+\frac{5}{2}-ით x მეორე განტოლებაში, -3x+4y=5.

$$-3\left(-\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}\right)+4y=5$$

გაამრავლეთ -3-ზე -\frac{3y}{4}+\frac{5}{2}.

$$\frac{9}{4}y-\frac{15}{2}+4y=5$$

მიუმატეთ \frac{9y}{4} 4y-ს.

$$\frac{25}{4}y-\frac{15}{2}=5$$

მიუმატეთ \frac{15}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{25}{4}y=\frac{25}{2}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{25}{4}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=2$$

ჩაანაცვლეთ 2-ით y აქ: x=-\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{3}{4}\times 2+\frac{5}{2}$$

გაამრავლეთ -\frac{3}{4}-ზე 2.

$$x=\frac{-3+5}{2}$$

მიუმატეთ \frac{5}{2} -\frac{3}{2}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=1,y=2$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 12-ზე, 3,4,6-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$4x+3y=10$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 15-ზე, 5,3,15-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$3\left(3x+20y\right)-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 3x+20y-ზე.

$$9x+60y-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -5 8y+1-ზე.

$$9x+60y-40y-5=12x+16y$$

დააჯგუფეთ 60y და -40y, რათა მიიღოთ 20y.

$$9x+20y-5=12x+16y$$

გამოაკელით 12x ორივე მხარეს.

$$9x+20y-5-12x=16y$$

დააჯგუფეთ 9x და -12x, რათა მიიღოთ -3x.

$$-3x+20y-5=16y$$

გამოაკელით 16y ორივე მხარეს.

$$-3x+20y-5-16y=0$$

დააჯგუფეთ 20y და -16y, რათა მიიღოთ 4y.

$$-3x+4y-5=0$$

დაამატეთ 5 ორივე მხარეს. თუ რიცხვს მივუმატებთ ნულს, მივიღებთ იმავე რიცხვს.

$$-3x+4y=5$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$4x+3y=10,-3x+4y=5$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4\times 4-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{4\times 4-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{4\times 4-3\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 4-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&-\frac{3}{25}\\\frac{3}{25}&\frac{4}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 10-\frac{3}{25}\times 5\\\frac{3}{25}\times 10+\frac{4}{25}\times 5\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=1,y=2$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 12-ზე, 3,4,6-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$4x+3y=10$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 15-ზე, 5,3,15-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$3\left(3x+20y\right)-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 3x+20y-ზე.

$$9x+60y-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -5 8y+1-ზე.

$$9x+60y-40y-5=12x+16y$$

დააჯგუფეთ 60y და -40y, რათა მიიღოთ 20y.

$$9x+20y-5=12x+16y$$

გამოაკელით 12x ორივე მხარეს.

$$9x+20y-5-12x=16y$$

დააჯგუფეთ 9x და -12x, რათა მიიღოთ -3x.

$$-3x+20y-5=16y$$

გამოაკელით 16y ორივე მხარეს.

$$-3x+20y-5-16y=0$$

დააჯგუფეთ 20y და -16y, რათა მიიღოთ 4y.

$$-3x+4y-5=0$$

დაამატეთ 5 ორივე მხარეს. თუ რიცხვს მივუმატებთ ნულს, მივიღებთ იმავე რიცხვს.

$$-3x+4y=5$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$4x+3y=10,-3x+4y=5$$

იმისათვის, რომ 4x და -3x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე.

$$-3\times 4x-3\times 3y=-3\times 10,4\left(-3\right)x+4\times 4y=4\times 5$$

გაამარტივეთ.

$$-12x-9y=-30,-12x+16y=20$$

გამოაკელით -12x+16y=20 -12x-9y=-30-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-12x+12x-9y-16y=-30-20$$

მიუმატეთ -12x 12x-ს. პირობები -12x და 12x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-9y-16y=-30-20$$

მიუმატეთ -9y -16y-ს.

$$-25y=-30-20$$

მიუმატეთ -30 -20-ს.

$$-25y=-50$$

ორივე მხარე გაყავით -25-ზე.

$$y=2$$

ჩაანაცვლეთ 2-ით y აქ: -3x+4y=5. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-3x+4\times 2=5$$

გაამრავლეთ 4-ზე 2.

$$-3x+8=5$$

გამოაკელით 8 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-3x=-3$$

ორივე მხარე გაყავით -3-ზე.

$$x=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=1,y=2$$