გადაწყვიტეთ {r}{u-30v=-65}{-3u+80v=165}

$$\left\{ \begin{array} { r } { u - 30 v = - 65 } \\ { - 3 u + 80 v = 165 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა u, v-ისთვის

$$u=25$$

$$v=3$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$u-30v=-65,-3u+80v=165$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი u-ისთვის, u-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$u-30v=-65$$

მიუმატეთ 30v განტოლების ორივე მხარეს.

$$u=30v-65$$

ჩაანაცვლეთ 30v-65-ით u მეორე განტოლებაში, -3u+80v=165.

$$-3\left(30v-65\right)+80v=165$$

გაამრავლეთ -3-ზე 30v-65.

$$-90v+195+80v=165$$

მიუმატეთ -90v 80v-ს.

$$-10v+195=165$$

გამოაკელით 195 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-10v=-30$$

ორივე მხარე გაყავით -10-ზე.

$$v=3$$

ჩაანაცვლეთ 3-ით v აქ: u=30v-65. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ u.

$$u=30\times 3-65$$

გაამრავლეთ 30-ზე 3.

$$u=90-65$$

მიუმატეთ -65 90-ს.

$$u=25$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$u=25,v=3$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$u-30v=-65,-3u+80v=165$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}&-\frac{-30}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8&-3\\-\frac{3}{10}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\left(-65\right)-3\times 165\\-\frac{3}{10}\left(-65\right)-\frac{1}{10}\times 165\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\3\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - u და v.

$$u=25,v=3$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$u-30v=-65,-3u+80v=165$$

იმისათვის, რომ u და -3u ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$-3u-3\left(-30\right)v=-3\left(-65\right),-3u+80v=165$$

გაამარტივეთ.

$$-3u+90v=195,-3u+80v=165$$

გამოაკელით -3u+80v=165 -3u+90v=195-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-3u+3u+90v-80v=195-165$$

მიუმატეთ -3u 3u-ს. პირობები -3u და 3u გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$90v-80v=195-165$$

მიუმატეთ 90v -80v-ს.

$$10v=195-165$$

მიუმატეთ 195 -165-ს.

$$10v=30$$

ორივე მხარე გაყავით 10-ზე.

$$v=3$$

ჩაანაცვლეთ 3-ით v აქ: -3u+80v=165. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ u.

$$-3u+80\times 3=165$$

გაამრავლეთ 80-ზე 3.

$$-3u+240=165$$

გამოაკელით 240 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-3u=-75$$

ორივე მხარე გაყავით -3-ზე.

$$u=25$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$u=25,v=3$$