გადაწყვიტეთ {r}{5p-q=7}{-2p+3q=5}

$$\left\{ \begin{array} { r } { 5 p - q = 7 } \\ { - 2 p + 3 q = 5 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა p, q-ისთვის

$$p=2$$

$$q=3$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$5p-q=7,-2p+3q=5$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი p-ისთვის, p-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$5p-q=7$$

მიუმატეთ q განტოლების ორივე მხარეს.

$$5p=q+7$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$p=\frac{1}{5}\left(q+7\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{5}-ზე q+7.

$$p=\frac{1}{5}q+\frac{7}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{7+q}{5}-ით p მეორე განტოლებაში, -2p+3q=5.

$$-2\left(\frac{1}{5}q+\frac{7}{5}\right)+3q=5$$

გაამრავლეთ -2-ზე \frac{7+q}{5}.

$$-\frac{2}{5}q-\frac{14}{5}+3q=5$$

მიუმატეთ -\frac{2q}{5} 3q-ს.

$$\frac{13}{5}q-\frac{14}{5}=5$$

მიუმატეთ \frac{14}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{13}{5}q=\frac{39}{5}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{13}{5}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$q=3$$

ჩაანაცვლეთ 3-ით q აქ: p=\frac{1}{5}q+\frac{7}{5}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ p.

$$p=\frac{1}{5}\times 3+\frac{7}{5}$$

გაამრავლეთ \frac{1}{5}-ზე 3.

$$p=\frac{3+7}{5}$$

მიუმატეთ \frac{7}{5} \frac{3}{5}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$p=2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$p=2,q=3$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$5p-q=7,-2p+3q=5$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\\\frac{2}{13}&\frac{5}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}\times 7+\frac{1}{13}\times 5\\\frac{2}{13}\times 7+\frac{5}{13}\times 5\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - p და q.

$$p=2,q=3$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$5p-q=7,-2p+3q=5$$

იმისათვის, რომ 5p და -2p ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 5-ზე.

$$-2\times 5p-2\left(-1\right)q=-2\times 7,5\left(-2\right)p+5\times 3q=5\times 5$$

გაამარტივეთ.

$$-10p+2q=-14,-10p+15q=25$$

გამოაკელით -10p+15q=25 -10p+2q=-14-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-10p+10p+2q-15q=-14-25$$

მიუმატეთ -10p 10p-ს. პირობები -10p და 10p გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$2q-15q=-14-25$$

მიუმატეთ 2q -15q-ს.

$$-13q=-14-25$$

მიუმატეთ -14 -25-ს.

$$-13q=-39$$

ორივე მხარე გაყავით -13-ზე.

$$q=3$$

ჩაანაცვლეთ 3-ით q აქ: -2p+3q=5. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ p.

$$-2p+3\times 3=5$$

გაამრავლეთ 3-ზე 3.

$$-2p+9=5$$

გამოაკელით 9 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-2p=-4$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$p=2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$p=2,q=3$$