გადაწყვიტეთ {r}{3x-2y/3+4y=13/3}{2(-2y+x)/3-3x/2=-frac{13}{6}}

$$\left\{ \begin{array} { r } { \frac { 3 x - 2 y } { 3 } + 4 y = \frac { 13 } { 3 } } \\ { \frac { 2 ( - 2 y + x ) } { 3 } - \frac { 3 x } { 2 } = - \frac { 13 } { 6 } } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=1$$

$$y=1$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 3-ზე.

$$3x-2y+12y=13$$

დააჯგუფეთ -2y და 12y, რათა მიიღოთ 10y.

$$3x+10y=13$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 6-ზე, 3,2,6-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$2\times 2\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13$$

გადაამრავლეთ 2 და 2, რათა მიიღოთ 4.

$$4\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4 -2y+x-ზე.

$$-8y+4x-3\times 3x=-13$$

გადაამრავლეთ -3 და 3, რათა მიიღოთ -9.

$$-8y+4x-9x=-13$$

დააჯგუფეთ 4x და -9x, რათა მიიღოთ -5x.

$$-8y-5x=-13$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3x+10y=13,-5x-8y=-13$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3x+10y=13$$

გამოაკელით 10y განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=-10y+13$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{1}{3}\left(-10y+13\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე -10y+13.

$$x=-\frac{10}{3}y+\frac{13}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-10y+13}{3}-ით x მეორე განტოლებაში, -5x-8y=-13.

$$-5\left(-\frac{10}{3}y+\frac{13}{3}\right)-8y=-13$$

გაამრავლეთ -5-ზე \frac{-10y+13}{3}.

$$\frac{50}{3}y-\frac{65}{3}-8y=-13$$

მიუმატეთ \frac{50y}{3} -8y-ს.

$$\frac{26}{3}y-\frac{65}{3}=-13$$

მიუმატეთ \frac{65}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{26}{3}y=\frac{26}{3}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{26}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით y აქ: x=-\frac{10}{3}y+\frac{13}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{-10+13}{3}$$

მიუმატეთ \frac{13}{3} -\frac{10}{3}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=1,y=1$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 3-ზე.

$$3x-2y+12y=13$$

დააჯგუფეთ -2y და 12y, რათა მიიღოთ 10y.

$$3x+10y=13$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 6-ზე, 3,2,6-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$2\times 2\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13$$

გადაამრავლეთ 2 და 2, რათა მიიღოთ 4.

$$4\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4 -2y+x-ზე.

$$-8y+4x-3\times 3x=-13$$

გადაამრავლეთ -3 და 3, რათა მიიღოთ -9.

$$-8y+4x-9x=-13$$

დააჯგუფეთ 4x და -9x, რათა მიიღოთ -5x.

$$-8y-5x=-13$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3x+10y=13,-5x-8y=-13$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3\left(-8\right)-10\left(-5\right)}&-\frac{10}{3\left(-8\right)-10\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{3\left(-8\right)-10\left(-5\right)}&\frac{3}{3\left(-8\right)-10\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{13}&-\frac{5}{13}\\\frac{5}{26}&\frac{3}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{13}\times 13-\frac{5}{13}\left(-13\right)\\\frac{5}{26}\times 13+\frac{3}{26}\left(-13\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=1,y=1$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 3-ზე.

$$3x-2y+12y=13$$

დააჯგუფეთ -2y და 12y, რათა მიიღოთ 10y.

$$3x+10y=13$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 6-ზე, 3,2,6-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$2\times 2\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13$$

გადაამრავლეთ 2 და 2, რათა მიიღოთ 4.

$$4\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4 -2y+x-ზე.

$$-8y+4x-3\times 3x=-13$$

გადაამრავლეთ -3 და 3, რათა მიიღოთ -9.

$$-8y+4x-9x=-13$$

დააჯგუფეთ 4x და -9x, რათა მიიღოთ -5x.

$$-8y-5x=-13$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3x+10y=13,-5x-8y=-13$$

იმისათვის, რომ 3x და -5x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -5-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$-5\times 3x-5\times 10y=-5\times 13,3\left(-5\right)x+3\left(-8\right)y=3\left(-13\right)$$

გაამარტივეთ.

$$-15x-50y=-65,-15x-24y=-39$$

გამოაკელით -15x-24y=-39 -15x-50y=-65-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-15x+15x-50y+24y=-65+39$$

მიუმატეთ -15x 15x-ს. პირობები -15x და 15x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-50y+24y=-65+39$$

მიუმატეთ -50y 24y-ს.

$$-26y=-65+39$$

მიუმატეთ -65 39-ს.

$$-26y=-26$$

ორივე მხარე გაყავით -26-ზე.

$$y=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით y აქ: -5x-8y=-13. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-5x-8=-13$$

მიუმატეთ 8 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-5x=-5$$

ორივე მხარე გაყავით -5-ზე.

$$x=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=1,y=1$$