გადაწყვიტეთ {l}{y=x-18}{y=15x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = x - 18 } \\ { y = 15 x } \end{array} \right.$$

ამოხსნა y, x-ისთვის

$$x = -\frac{9}{7} = -1\frac{2}{7} \approx -1.285714286$$

$$y = -\frac{135}{7} = -19\frac{2}{7} \approx -19.285714286$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$y-x=-18$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 15x ორივე მხარეს.

$$y-15x=0$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$y-x=-18,y-15x=0$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი y-ისთვის, y-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$y-x=-18$$

მიუმატეთ x განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=x-18$$

ჩაანაცვლეთ x-18-ით y მეორე განტოლებაში, y-15x=0.

$$x-18-15x=0$$

მიუმატეთ x -15x-ს.

$$-14x-18=0$$

მიუმატეთ 18 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-14x=18$$

ორივე მხარე გაყავით -14-ზე.

$$x=-\frac{9}{7}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{9}{7}-ით x აქ: y=x-18. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y=-\frac{9}{7}-18$$

მიუმატეთ -18 -\frac{9}{7}-ს.

$$y=-\frac{135}{7}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=-\frac{135}{7},x=-\frac{9}{7}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$y-x=-18$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 15x ორივე მხარეს.

$$y-15x=0$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$y-x=-18,y-15x=0$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\0\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&-1\\1&-15\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\0\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\0\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{-15-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-15-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-15-\left(-1\right)}&\frac{1}{-15-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\0\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{14}&-\frac{1}{14}\\\frac{1}{14}&-\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\0\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{14}\left(-18\right)\\\frac{1}{14}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{135}{7}\\-\frac{9}{7}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - y და x.

$$y=-\frac{135}{7},x=-\frac{9}{7}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$y-x=-18$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 15x ორივე მხარეს.

$$y-15x=0$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$y-x=-18,y-15x=0$$

გამოაკელით y-15x=0 y-x=-18-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$y-y-x+15x=-18$$

მიუმატეთ y -y-ს. პირობები y და -y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-x+15x=-18$$

მიუმატეთ -x 15x-ს.

$$14x=-18$$

ორივე მხარე გაყავით 14-ზე.

$$x=-\frac{9}{7}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{9}{7}-ით x აქ: y-15x=0. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y-15\left(-\frac{9}{7}\right)=0$$

გაამრავლეთ -15-ზე -\frac{9}{7}.

$$y+\frac{135}{7}=0$$

გამოაკელით \frac{135}{7} განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=-\frac{135}{7}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=-\frac{135}{7},x=-\frac{9}{7}$$