გადაწყვიტეთ {l}{y=x-18}{y=1/4x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = x - 18 } \\ { y = \frac { 1 } { 4 } x } \end{array} \right.$$

ამოხსნა y, x-ისთვის

$$x=24$$

$$y=6$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$y-x=-18$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით \frac{1}{4}x ორივე მხარეს.

$$y-\frac{1}{4}x=0$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$y-x=-18,y-\frac{1}{4}x=0$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი y-ისთვის, y-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$y-x=-18$$

მიუმატეთ x განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=x-18$$

ჩაანაცვლეთ x-18-ით y მეორე განტოლებაში, y-\frac{1}{4}x=0.

$$x-18-\frac{1}{4}x=0$$

მიუმატეთ x -\frac{x}{4}-ს.

$$\frac{3}{4}x-18=0$$

მიუმატეთ 18 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{3}{4}x=18$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{3}{4}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=24$$

ჩაანაცვლეთ 24-ით x აქ: y=x-18. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y=24-18$$

მიუმატეთ -18 24-ს.

$$y=6$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=6,x=24$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$y-x=-18$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით \frac{1}{4}x ორივე მხარეს.

$$y-\frac{1}{4}x=0$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$y-x=-18,y-\frac{1}{4}x=0$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\0\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&-1\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\0\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\0\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{4}}{-\frac{1}{4}-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-\frac{1}{4}-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-\frac{1}{4}-\left(-1\right)}&\frac{1}{-\frac{1}{4}-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\0\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{4}{3}\\-\frac{4}{3}&\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\0\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-18\right)\\-\frac{4}{3}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\24\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - y და x.

$$y=6,x=24$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$y-x=-18$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით \frac{1}{4}x ორივე მხარეს.

$$y-\frac{1}{4}x=0$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$y-x=-18,y-\frac{1}{4}x=0$$

გამოაკელით y-\frac{1}{4}x=0 y-x=-18-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$y-y-x+\frac{1}{4}x=-18$$

მიუმატეთ y -y-ს. პირობები y და -y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-x+\frac{1}{4}x=-18$$

მიუმატეთ -x \frac{x}{4}-ს.

$$-\frac{3}{4}x=-18$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{3}{4}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=24$$

ჩაანაცვლეთ 24-ით x აქ: y-\frac{1}{4}x=0. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y-\frac{1}{4}\times 24=0$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{4}-ზე 24.

$$y-6=0$$

მიუმატეთ 6 განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=6$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=6,x=24$$