გადაწყვიტეთ {l}{y=3x-5}{y=x+3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 3 x - 5 } \\ { y = x + 3 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა y, x-ისთვის

$$x=4$$

$$y=7$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 3x ორივე მხარეს.

$$y-3x=-5$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$y-x=3$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$y-3x=-5,y-x=3$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი y-ისთვის, y-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$y-3x=-5$$

მიუმატეთ 3x განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=3x-5$$

ჩაანაცვლეთ 3x-5-ით y მეორე განტოლებაში, y-x=3.

$$3x-5-x=3$$

მიუმატეთ 3x -x-ს.

$$2x-5=3$$

მიუმატეთ 5 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=8$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=4$$

ჩაანაცვლეთ 4-ით x აქ: y=3x-5. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y=3\times 4-5$$

გაამრავლეთ 3-ზე 4.

$$y=12-5$$

მიუმატეთ -5 12-ს.

$$y=7$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=7,x=4$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 3x ორივე მხარეს.

$$y-3x=-5$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$y-x=3$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$y-3x=-5,y-x=3$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-1-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-1-\left(-3\right)}&\frac{1}{-1-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\left(-5\right)+\frac{3}{2}\times 3\\-\frac{1}{2}\left(-5\right)+\frac{1}{2}\times 3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - y და x.

$$y=7,x=4$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 3x ორივე მხარეს.

$$y-3x=-5$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$y-x=3$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$y-3x=-5,y-x=3$$

გამოაკელით y-x=3 y-3x=-5-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$y-y-3x+x=-5-3$$

მიუმატეთ y -y-ს. პირობები y და -y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-3x+x=-5-3$$

მიუმატეთ -3x x-ს.

$$-2x=-5-3$$

მიუმატეთ -5 -3-ს.

$$-2x=-8$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$x=4$$

ჩაანაცვლეთ 4-ით x აქ: y-x=3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y-4=3$$

მიუმატეთ 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=7$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=7,x=4$$