გადაწყვიტეთ {l}{y=3x-2}{5x+4y=9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 3 x - 2 } \\ { 5 x + 4 y = 9 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა y, x-ისთვის

$$x=1$$

$$y=1$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 3x ორივე მხარეს.

$$y-3x=-2$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$y-3x=-2,4y+5x=9$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი y-ისთვის, y-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$y-3x=-2$$

მიუმატეთ 3x განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=3x-2$$

ჩაანაცვლეთ 3x-2-ით y მეორე განტოლებაში, 4y+5x=9.

$$4\left(3x-2\right)+5x=9$$

გაამრავლეთ 4-ზე 3x-2.

$$12x-8+5x=9$$

მიუმატეთ 12x 5x-ს.

$$17x-8=9$$

მიუმატეთ 8 განტოლების ორივე მხარეს.

$$17x=17$$

ორივე მხარე გაყავით 17-ზე.

$$x=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით x აქ: y=3x-2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y=3-2$$

მიუმატეთ -2 3-ს.

$$y=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=1,x=1$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 3x ორივე მხარეს.

$$y-3x=-2$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$y-3x=-2,4y+5x=9$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\9\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\9\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\9\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{5-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{5-\left(-3\times 4\right)}&\frac{1}{5-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\9\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}&\frac{3}{17}\\-\frac{4}{17}&\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\9\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}\left(-2\right)+\frac{3}{17}\times 9\\-\frac{4}{17}\left(-2\right)+\frac{1}{17}\times 9\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - y და x.

$$y=1,x=1$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 3x ორივე მხარეს.

$$y-3x=-2$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$y-3x=-2,4y+5x=9$$

იმისათვის, რომ y და 4y ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$4y+4\left(-3\right)x=4\left(-2\right),4y+5x=9$$

გაამარტივეთ.

$$4y-12x=-8,4y+5x=9$$

გამოაკელით 4y+5x=9 4y-12x=-8-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$4y-4y-12x-5x=-8-9$$

მიუმატეთ 4y -4y-ს. პირობები 4y და -4y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-12x-5x=-8-9$$

მიუმატეთ -12x -5x-ს.

$$-17x=-8-9$$

მიუმატეთ -8 -9-ს.

$$-17x=-17$$

ორივე მხარე გაყავით -17-ზე.

$$x=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით x აქ: 4y+5x=9. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$4y+5=9$$

გამოაკელით 5 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4y=4$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$y=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=1,x=1$$