გადაწყვიტეთ {l}{y=3x+8}{x^2+y^2=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 3 x + 8 } \\ { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 4 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა y, x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{6}i-12}{5}\approx -2.4-0.489897949i\text{, }y=\frac{-3\sqrt{6}i+4}{5}\approx 0.8-1.469693846i$$

$$x=\frac{-12+\sqrt{6}i}{5}\approx -2.4+0.489897949i\text{, }y=\frac{4+3\sqrt{6}i}{5}\approx 0.8+1.469693846i$$

ეტაპები ჩანაცვლების და კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 3x ორივე მხარეს.

$$y-3x=8$$

გამოაკელით -3x განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=3x+8$$

ჩაანაცვლეთ 3x+8-ით y მეორე განტოლებაში, x^{2}+y^{2}=4.

$$x^{2}+\left(3x+8\right)^{2}=4$$

აიყვანეთ კვადრატში 3x+8.

$$x^{2}+9x^{2}+48x+64=4$$

მიუმატეთ x^{2} 9x^{2}-ს.

$$10x^{2}+48x+64=4$$

გამოაკელით 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$10x^{2}+48x+60=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 1+1\times 3^{2}-ით a, 1\times 8\times 2\times 3-ით b და 60-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 10\times 60}}{2\times 10}$$

აიყვანეთ კვადრატში 1\times 8\times 2\times 3.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 10\times 60}}{2\times 10}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 1+1\times 3^{2}.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-40\times 60}}{2\times 10}$$

გაამრავლეთ -40-ზე 60.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-2400}}{2\times 10}$$

მიუმატეთ 2304 -2400-ს.

$$x=\frac{-48±\sqrt{-96}}{2\times 10}$$

აიღეთ -96-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-48±4\sqrt{6}i}{2\times 10}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 1+1\times 3^{2}.

$$x=\frac{-48±4\sqrt{6}i}{20}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-48±4\sqrt{6}i}{20} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -48 4i\sqrt{6}-ს.

$$x=\frac{-48+4\sqrt{6}i}{20}$$

გაყავით -48+4i\sqrt{6} 20-ზე.

$$x=\frac{-12+\sqrt{6}i}{5}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-48±4\sqrt{6}i}{20} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 4i\sqrt{6} -48-ს.

$$x=\frac{-4\sqrt{6}i-48}{20}$$

გაყავით -48-4i\sqrt{6} 20-ზე.

$$x=\frac{-\sqrt{6}i-12}{5}$$

არსებობს x-ის ორი ამონახსნი: \frac{-12+i\sqrt{6}}{5} და \frac{-12-i\sqrt{6}}{5}. ჩაანაცვლეთ \frac{-12+i\sqrt{6}}{5}-ით x განტოლებაში y=3x+8, რათა იპოვოთ y-ის შესაბამისი ამონახსნი, რომელიც ორივე განტოლებას აკმაყოფილებს.

$$y=3\times \frac{-12+\sqrt{6}i}{5}+8$$

ახლა ჩაანაცვლეთ \frac{-12-i\sqrt{6}}{5}-ით x განტოლებაში y=3x+8 და ამოხსენით, რათა იპოვოთ y-ის შესაბამისი ამონახსნი, რომელიც ორივე განტოლებას აკმაყოფილებს.

$$y=3\times \frac{-\sqrt{6}i-12}{5}+8$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=3\times \frac{-12+\sqrt{6}i}{5}+8,x=\frac{-12+\sqrt{6}i}{5}\text{ or }y=3\times \frac{-\sqrt{6}i-12}{5}+8,x=\frac{-\sqrt{6}i-12}{5}$$