გადაწყვიტეთ {l}{y=2x(1)}{x-y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 2 x ( 1 ) } \\ { x - y = 3 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა y, x-ისთვის

$$x=-3$$

$$y=-6$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გადაამრავლეთ 2 და 1, რათა მიიღოთ 2.

$$y=2x$$

ჩაანაცვლეთ 2x-ით y მეორე განტოლებაში, -y+x=3.

$$-2x+x=3$$

მიუმატეთ -2x x-ს.

$$-x=3$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$x=-3$$

ჩაანაცვლეთ -3-ით x აქ: y=2x. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y=2\left(-3\right)$$

გაამრავლეთ 2-ზე -3.

$$y=-6$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=-6,x=-3$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გადაამრავლეთ 2 და 1, რათა მიიღოთ 2.

$$y=2x$$

გამოაკელით 2x ორივე მხარეს.

$$y-2x=0$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$y-2x=0,-y+x=3$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&-2\\-1&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\left(-1\right)\right)}&-\frac{-2}{1-\left(-2\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{1-\left(-2\left(-1\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-2\\-1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 3\\-3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-3\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - y და x.

$$y=-6,x=-3$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გადაამრავლეთ 2 და 1, რათა მიიღოთ 2.

$$y=2x$$

გამოაკელით 2x ორივე მხარეს.

$$y-2x=0$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$y-2x=0,-y+x=3$$

იმისათვის, რომ y და -y ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$-y-\left(-2x\right)=0,-y+x=3$$

გაამარტივეთ.

$$-y+2x=0,-y+x=3$$

გამოაკელით -y+x=3 -y+2x=0-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-y+y+2x-x=-3$$

მიუმატეთ -y y-ს. პირობები -y და y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$2x-x=-3$$

მიუმატეთ 2x -x-ს.

$$x=-3$$

ჩაანაცვლეთ -3-ით x აქ: -y+x=3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$-y-3=3$$

მიუმატეთ 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-y=6$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$y=-6$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=-6,x=-3$$