გადაწყვიტეთ {l}{y=-5x+6}{y=3x-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = - 5 x + 6 } \\ { y = 3 x - 2 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა y, x-ისთვის

$$x=1$$

$$y=1$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ 5x ორივე მხარეს.

$$y+5x=6$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 3x ორივე მხარეს.

$$y-3x=-2$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$y+5x=6,y-3x=-2$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი y-ისთვის, y-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$y+5x=6$$

გამოაკელით 5x განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=-5x+6$$

ჩაანაცვლეთ -5x+6-ით y მეორე განტოლებაში, y-3x=-2.

$$-5x+6-3x=-2$$

მიუმატეთ -5x -3x-ს.

$$-8x+6=-2$$

გამოაკელით 6 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-8x=-8$$

ორივე მხარე გაყავით -8-ზე.

$$x=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით x აქ: y=-5x+6. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y=-5+6$$

მიუმატეთ 6 -5-ს.

$$y=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=1,x=1$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ 5x ორივე მხარეს.

$$y+5x=6$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 3x ორივე მხარეს.

$$y-3x=-2$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$y+5x=6,y-3x=-2$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&5\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&5\\1&-3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-5}&-\frac{5}{-3-5}\\-\frac{1}{-3-5}&\frac{1}{-3-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&\frac{5}{8}\\\frac{1}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\times 6+\frac{5}{8}\left(-2\right)\\\frac{1}{8}\times 6-\frac{1}{8}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - y და x.

$$y=1,x=1$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ 5x ორივე მხარეს.

$$y+5x=6$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 3x ორივე მხარეს.

$$y-3x=-2$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$y+5x=6,y-3x=-2$$

გამოაკელით y-3x=-2 y+5x=6-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$y-y+5x+3x=6+2$$

მიუმატეთ y -y-ს. პირობები y და -y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$5x+3x=6+2$$

მიუმატეთ 5x 3x-ს.

$$8x=6+2$$

მიუმატეთ 6 2-ს.

$$8x=8$$

ორივე მხარე გაყავით 8-ზე.

$$x=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით x აქ: y-3x=-2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y-3=-2$$

მიუმატეთ 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=1,x=1$$