გადაწყვიტეთ {l}{y=-4/6x-5}{8x+5y=-45}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = - \frac { 4 } { 6 } x - 5 } \\ { 8 x + 5 y = - 45 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა y, x-ისთვის

$$x = -\frac{30}{7} = -4\frac{2}{7} \approx -4.285714286$$

$$y = -\frac{15}{7} = -2\frac{1}{7} \approx -2.142857143$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. შეამცირეთ წილადი \frac{4}{6} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$y=-\frac{2}{3}x-5$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{2x}{3}-5-ით y მეორე განტოლებაში, 5y+8x=-45.

$$5\left(-\frac{2}{3}x-5\right)+8x=-45$$

გაამრავლეთ 5-ზე -\frac{2x}{3}-5.

$$-\frac{10}{3}x-25+8x=-45$$

მიუმატეთ -\frac{10x}{3} 8x-ს.

$$\frac{14}{3}x-25=-45$$

მიუმატეთ 25 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{14}{3}x=-20$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{14}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=-\frac{30}{7}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{30}{7}-ით x აქ: y=-\frac{2}{3}x-5. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y=-\frac{2}{3}\left(-\frac{30}{7}\right)-5$$

გაამრავლეთ -\frac{2}{3}-ზე -\frac{30}{7} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$y=\frac{20}{7}-5$$

მიუმატეთ -5 \frac{20}{7}-ს.

$$y=-\frac{15}{7}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=-\frac{15}{7},x=-\frac{30}{7}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. შეამცირეთ წილადი \frac{4}{6} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$y=-\frac{2}{3}x-5$$

დაამატეთ \frac{2}{3}x ორივე მხარეს.

$$y+\frac{2}{3}x=-5$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$y+\frac{2}{3}x=-5,5y+8x=-45$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-\frac{2}{3}\times 5}&-\frac{\frac{2}{3}}{8-\frac{2}{3}\times 5}\\-\frac{5}{8-\frac{2}{3}\times 5}&\frac{1}{8-\frac{2}{3}\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{15}{14}&\frac{3}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{7}\left(-5\right)-\frac{1}{7}\left(-45\right)\\-\frac{15}{14}\left(-5\right)+\frac{3}{14}\left(-45\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{7}\\-\frac{30}{7}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - y და x.

$$y=-\frac{15}{7},x=-\frac{30}{7}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. შეამცირეთ წილადი \frac{4}{6} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$y=-\frac{2}{3}x-5$$

დაამატეთ \frac{2}{3}x ორივე მხარეს.

$$y+\frac{2}{3}x=-5$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$y+\frac{2}{3}x=-5,5y+8x=-45$$

იმისათვის, რომ y და 5y ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 5-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$5y+5\times \frac{2}{3}x=5\left(-5\right),5y+8x=-45$$

გაამარტივეთ.

$$5y+\frac{10}{3}x=-25,5y+8x=-45$$

გამოაკელით 5y+8x=-45 5y+\frac{10}{3}x=-25-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$5y-5y+\frac{10}{3}x-8x=-25+45$$

მიუმატეთ 5y -5y-ს. პირობები 5y და -5y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$\frac{10}{3}x-8x=-25+45$$

მიუმატეთ \frac{10x}{3} -8x-ს.

$$-\frac{14}{3}x=-25+45$$

მიუმატეთ -25 45-ს.

$$-\frac{14}{3}x=20$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{14}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=-\frac{30}{7}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{30}{7}-ით x აქ: 5y+8x=-45. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$5y+8\left(-\frac{30}{7}\right)=-45$$

გაამრავლეთ 8-ზე -\frac{30}{7}.

$$5y-\frac{240}{7}=-45$$

მიუმატეთ \frac{240}{7} განტოლების ორივე მხარეს.

$$5y=-\frac{75}{7}$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$y=-\frac{15}{7}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=-\frac{15}{7},x=-\frac{30}{7}$$