გადაწყვიტეთ {l}{y=-4/5x-9}{y=-8x/3-15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = \frac { - 4 } { 5 } x - 9 } \\ { y = - \frac { 8 x } { 3 } - 15 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა y, x-ისთვის

$$x = -\frac{45}{14} = -3\frac{3}{14} \approx -3.214285714$$

$$y = -\frac{45}{7} = -6\frac{3}{7} \approx -6.428571429$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. წილადი \frac{-4}{5} შეიძლება ჩაიწეროს როგორც -\frac{4}{5} უარყოფითი ნიშნის მოცილებით.

$$y=-\frac{4}{5}x-9$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{4x}{5}-9-ით y მეორე განტოლებაში, 3y+8x=-45.

$$3\left(-\frac{4}{5}x-9\right)+8x=-45$$

გაამრავლეთ 3-ზე -\frac{4x}{5}-9.

$$-\frac{12}{5}x-27+8x=-45$$

მიუმატეთ -\frac{12x}{5} 8x-ს.

$$\frac{28}{5}x-27=-45$$

მიუმატეთ 27 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{28}{5}x=-18$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{28}{5}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=-\frac{45}{14}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{45}{14}-ით x აქ: y=-\frac{4}{5}x-9. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y=-\frac{4}{5}\left(-\frac{45}{14}\right)-9$$

გაამრავლეთ -\frac{4}{5}-ზე -\frac{45}{14} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$y=\frac{18}{7}-9$$

მიუმატეთ -9 \frac{18}{7}-ს.

$$y=-\frac{45}{7}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=-\frac{45}{7},x=-\frac{45}{14}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. წილადი \frac{-4}{5} შეიძლება ჩაიწეროს როგორც -\frac{4}{5} უარყოფითი ნიშნის მოცილებით.

$$y=-\frac{4}{5}x-9$$

დაამატეთ \frac{4}{5}x ორივე მხარეს.

$$y+\frac{4}{5}x=-9$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ \frac{8x}{3} ორივე მხარეს.

$$y+\frac{8x}{3}=-15$$

განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 3-ზე.

$$3y+8x=-45$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$y+\frac{4}{5}x=-9,3y+8x=-45$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-\frac{4}{5}\times 3}&-\frac{\frac{4}{5}}{8-\frac{4}{5}\times 3}\\-\frac{3}{8-\frac{4}{5}\times 3}&\frac{1}{8-\frac{4}{5}\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{15}{28}&\frac{5}{28}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{7}\left(-9\right)-\frac{1}{7}\left(-45\right)\\-\frac{15}{28}\left(-9\right)+\frac{5}{28}\left(-45\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{45}{7}\\-\frac{45}{14}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - y და x.

$$y=-\frac{45}{7},x=-\frac{45}{14}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. წილადი \frac{-4}{5} შეიძლება ჩაიწეროს როგორც -\frac{4}{5} უარყოფითი ნიშნის მოცილებით.

$$y=-\frac{4}{5}x-9$$

დაამატეთ \frac{4}{5}x ორივე მხარეს.

$$y+\frac{4}{5}x=-9$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ \frac{8x}{3} ორივე მხარეს.

$$y+\frac{8x}{3}=-15$$

განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 3-ზე.

$$3y+8x=-45$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$y+\frac{4}{5}x=-9,3y+8x=-45$$

იმისათვის, რომ y და 3y ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$3y+3\times \frac{4}{5}x=3\left(-9\right),3y+8x=-45$$

გაამარტივეთ.

$$3y+\frac{12}{5}x=-27,3y+8x=-45$$

გამოაკელით 3y+8x=-45 3y+\frac{12}{5}x=-27-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$3y-3y+\frac{12}{5}x-8x=-27+45$$

მიუმატეთ 3y -3y-ს. პირობები 3y და -3y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$\frac{12}{5}x-8x=-27+45$$

მიუმატეთ \frac{12x}{5} -8x-ს.

$$-\frac{28}{5}x=-27+45$$

მიუმატეთ -27 45-ს.

$$-\frac{28}{5}x=18$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{28}{5}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=-\frac{45}{14}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{45}{14}-ით x აქ: 3y+8x=-45. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$3y+8\left(-\frac{45}{14}\right)=-45$$

გაამრავლეთ 8-ზე -\frac{45}{14}.

$$3y-\frac{180}{7}=-45$$

მიუმატეთ \frac{180}{7} განტოლების ორივე მხარეს.

$$3y=-\frac{135}{7}$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$y=-\frac{45}{7}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=-\frac{45}{7},x=-\frac{45}{14}$$