გადაწყვიტეთ {l}{x_{1}+x_{2}=97}{frac{x_{2}}{x_{1}}=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x _ { 1 } + x _ { 2 } = 97 } \\ { \frac { x _ { 2 } } { x _ { 1 } } = 2 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x_1, x_2-ისთვის

$$x_{1} = \frac{97}{3} = 32\frac{1}{3} \approx 32.333333333$$

$$x_{2} = \frac{194}{3} = 64\frac{2}{3} \approx 64.666666667$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. ცვლადი x_{1} არ შეიძლება იყოს 0-ის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ x_{1}-ზე.

$$x_{2}=2x_{1}$$

გამოაკელით 2x_{1} ორივე მხარეს.

$$x_{2}-2x_{1}=0$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x_{1}+x_{2}=97,-2x_{1}+x_{2}=0$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x_{1}-ისთვის, x_{1}-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x_{1}+x_{2}=97$$

გამოაკელით x_{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x_{1}=-x_{2}+97$$

ჩაანაცვლეთ -x_{2}+97-ით x_{1} მეორე განტოლებაში, -2x_{1}+x_{2}=0.

$$-2\left(-x_{2}+97\right)+x_{2}=0$$

გაამრავლეთ -2-ზე -x_{2}+97.

$$2x_{2}-194+x_{2}=0$$

მიუმატეთ 2x_{2} x_{2}-ს.

$$3x_{2}-194=0$$

მიუმატეთ 194 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x_{2}=194$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x_{2}=\frac{194}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{194}{3}-ით x_{2} აქ: x_{1}=-x_{2}+97. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x_{1}.

$$x_{1}=-\frac{194}{3}+97$$

მიუმატეთ 97 -\frac{194}{3}-ს.

$$x_{1}=\frac{97}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x_{1}=\frac{97}{3},x_{2}=\frac{194}{3}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. ცვლადი x_{1} არ შეიძლება იყოს 0-ის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ x_{1}-ზე.

$$x_{2}=2x_{1}$$

გამოაკელით 2x_{1} ორივე მხარეს.

$$x_{2}-2x_{1}=0$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x_{1}+x_{2}=97,-2x_{1}+x_{2}=0$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{1}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 97\\\frac{2}{3}\times 97\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{97}{3}\\\frac{194}{3}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x_{1} და x_{2}.

$$x_{1}=\frac{97}{3},x_{2}=\frac{194}{3}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. ცვლადი x_{1} არ შეიძლება იყოს 0-ის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ x_{1}-ზე.

$$x_{2}=2x_{1}$$

გამოაკელით 2x_{1} ორივე მხარეს.

$$x_{2}-2x_{1}=0$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x_{1}+x_{2}=97,-2x_{1}+x_{2}=0$$

გამოაკელით -2x_{1}+x_{2}=0 x_{1}+x_{2}=97-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$x_{1}+2x_{1}+x_{2}-x_{2}=97$$

მიუმატეთ x_{2} -x_{2}-ს. პირობები x_{2} და -x_{2} გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$x_{1}+2x_{1}=97$$

მიუმატეთ x_{1} 2x_{1}-ს.

$$3x_{1}=97$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x_{1}=\frac{97}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{97}{3}-ით x_{1} აქ: -2x_{1}+x_{2}=0. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x_{2}.

$$-2\times \frac{97}{3}+x_{2}=0$$

გაამრავლეთ -2-ზე \frac{97}{3}.

$$-\frac{194}{3}+x_{2}=0$$

მიუმატეთ \frac{194}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x_{2}=\frac{194}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x_{1}=\frac{97}{3},x_{2}=\frac{194}{3}$$