გადაწყვიტეთ {l}{x-y=3}{3x+y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 3 } \\ { 3 x + y = 8 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2.75$$

$$y=-\frac{1}{4}=-0.25$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x-y=3,3x+y=8$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x-y=3$$

მიუმატეთ y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=y+3$$

ჩაანაცვლეთ y+3-ით x მეორე განტოლებაში, 3x+y=8.

$$3\left(y+3\right)+y=8$$

გაამრავლეთ 3-ზე y+3.

$$3y+9+y=8$$

მიუმატეთ 3y y-ს.

$$4y+9=8$$

გამოაკელით 9 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4y=-1$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$y=-\frac{1}{4}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{1}{4}-ით y აქ: x=y+3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{1}{4}+3$$

მიუმატეთ 3 -\frac{1}{4}-ს.

$$x=\frac{11}{4}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{11}{4},y=-\frac{1}{4}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x-y=3,3x+y=8$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\8\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\8\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\8\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{1-\left(-3\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\8\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\8\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 3+\frac{1}{4}\times 8\\-\frac{3}{4}\times 3+\frac{1}{4}\times 8\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{4}\\-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{11}{4},y=-\frac{1}{4}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x-y=3,3x+y=8$$

იმისათვის, რომ x და 3x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$3x+3\left(-1\right)y=3\times 3,3x+y=8$$

გაამარტივეთ.

$$3x-3y=9,3x+y=8$$

გამოაკელით 3x+y=8 3x-3y=9-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$3x-3x-3y-y=9-8$$

მიუმატეთ 3x -3x-ს. პირობები 3x და -3x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-3y-y=9-8$$

მიუმატეთ -3y -y-ს.

$$-4y=9-8$$

მიუმატეთ 9 -8-ს.

$$-4y=1$$

ორივე მხარე გაყავით -4-ზე.

$$y=-\frac{1}{4}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{1}{4}-ით y აქ: 3x+y=8. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$3x-\frac{1}{4}=8$$

მიუმატეთ \frac{1}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=\frac{33}{4}$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{11}{4}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{11}{4},y=-\frac{1}{4}$$