გადაწყვიტეთ {l}{x-y=10}{2x+2,5y=200}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 10 } \\ { 2 x + 2,5 y = 200 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=50$$

$$y=40$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x-y=10;2x+2,5y=200$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x-y=10$$

მიუმატეთ y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=y+10$$

ჩაანაცვლეთ y+10-ით x მეორე განტოლებაში, 2x+2,5y=200.

$$2\left(y+10\right)+2,5y=200$$

გაამრავლეთ 2-ზე y+10.

$$2y+20+2,5y=200$$

მიუმატეთ 2y \frac{5y}{2}-ს.

$$4,5y+20=200$$

გამოაკელით 20 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4,5y=180$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით 4,5-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=40$$

ჩაანაცვლეთ 40-ით y აქ: x=y+10. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=40+10$$

მიუმატეთ 10 40-ს.

$$x=50$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=50;y=40$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x-y=10;2x+2,5y=200$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2,5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\200\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&-1\\2&2,5\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2,5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2,5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2,5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\200\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2,5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\200\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2,5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\200\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2,5}{2,5-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{2,5-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{2,5-\left(-2\right)}&\frac{1}{2,5-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\200\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}&\frac{2}{9}\\-\frac{4}{9}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\200\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}\times 10+\frac{2}{9}\times 200\\-\frac{4}{9}\times 10+\frac{2}{9}\times 200\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\40\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=50;y=40$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x-y=10;2x+2,5y=200$$

იმისათვის, რომ x და 2x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$2x+2\left(-1\right)y=2\times 10;2x+2,5y=200$$

გაამარტივეთ.

$$2x-2y=20;2x+2,5y=200$$

გამოაკელით 2x+2,5y=200 2x-2y=20-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$2x-2x-2y-2,5y=20-200$$

მიუმატეთ 2x -2x-ს. პირობები 2x და -2x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-2y-2,5y=20-200$$

მიუმატეთ -2y -\frac{5y}{2}-ს.

$$-4,5y=20-200$$

მიუმატეთ 20 -200-ს.

$$-4,5y=-180$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -4,5-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=40$$

ჩაანაცვლეთ 40-ით y აქ: 2x+2,5y=200. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$2x+2,5\times 40=200$$

გაამრავლეთ 2,5-ზე 40.

$$2x+100=200$$

გამოაკელით 100 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=100$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=50$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=50;y=40$$