გადაწყვიტეთ {l}{x-y=1/4}{3x^2-6=y^2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = \frac { 1 } { 4 } } \\ { 3 x ^ { 2 } - 6 = y ^ { 2 } } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=\frac{-\sqrt{195}-1}{8}\approx -1.870530005\text{, }y=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}\approx -2.120530005$$

$$x=\frac{\sqrt{195}-1}{8}\approx 1.620530005\text{, }y=\frac{\sqrt{195}-3}{8}\approx 1.370530005$$

ეტაპები ჩანაცვლების და კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით y^{2} ორივე მხარეს.

$$3x^{2}-6-y^{2}=0$$

დაამატეთ 6 ორივე მხარეს. თუ რიცხვს მივუმატებთ ნულს, მივიღებთ იმავე რიცხვს.

$$3x^{2}-y^{2}=6$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x-y=\frac{1}{4},-y^{2}+3x^{2}=6$$

ამოხსენით x-y=\frac{1}{4} x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x-y=\frac{1}{4}$$

გამოაკელით -y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=y+\frac{1}{4}$$

ჩაანაცვლეთ y+\frac{1}{4}-ით x მეორე განტოლებაში, -y^{2}+3x^{2}=6.

$$-y^{2}+3\left(y+\frac{1}{4}\right)^{2}=6$$

აიყვანეთ კვადრატში y+\frac{1}{4}.

$$-y^{2}+3\left(y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}\right)=6$$

გაამრავლეთ 3-ზე y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}.

$$-y^{2}+3y^{2}+\frac{3}{2}y+\frac{3}{16}=6$$

მიუმატეთ -y^{2} 3y^{2}-ს.

$$2y^{2}+\frac{3}{2}y+\frac{3}{16}=6$$

გამოაკელით 6 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2y^{2}+\frac{3}{2}y-\frac{93}{16}=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -1+3\times 1^{2}-ით a, 3\times \frac{1}{4}\times 1\times 2-ით b და -\frac{93}{16}-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-4\times 2\left(-\frac{93}{16}\right)}}{2\times 2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 3\times \frac{1}{4}\times 1\times 2.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{9}{4}-4\times 2\left(-\frac{93}{16}\right)}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -1+3\times 1^{2}.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{9}{4}-8\left(-\frac{93}{16}\right)}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -8-ზე -\frac{93}{16}.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{93}{2}}}{2\times 2}$$

მიუმატეთ \frac{9}{4} \frac{93}{2}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{195}{4}}}{2\times 2}$$

აიღეთ \frac{195}{4}-ის კვადრატული ფესვი.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{195}}{2}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -1+3\times 1^{2}.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{195}}{2}}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება y=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{195}}{2}}{4} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -\frac{3}{2} \frac{\sqrt{195}}{2}-ს.

$$y=\frac{\sqrt{195}-3}{2\times 4}$$

გაყავით \frac{-3+\sqrt{195}}{2} 4-ზე.

$$y=\frac{\sqrt{195}-3}{8}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება y=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{195}}{2}}{4} როცა ± მინუსია. გამოაკელით \frac{\sqrt{195}}{2} -\frac{3}{2}-ს.

$$y=\frac{-\sqrt{195}-3}{2\times 4}$$

გაყავით \frac{-3-\sqrt{195}}{2} 4-ზე.

$$y=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}$$

არსებობს y-ის ორი ამონახსნი: \frac{-3+\sqrt{195}}{8} და \frac{-3-\sqrt{195}}{8}. ჩაანაცვლეთ \frac{-3+\sqrt{195}}{8}-ით y განტოლებაში x=y+\frac{1}{4}, რათა იპოვოთ x-ის შესაბამისი ამონახსნი, რომელიც ორივე განტოლებას აკმაყოფილებს.

$$x=\frac{\sqrt{195}-3}{8}+\frac{1}{4}$$

ახლა ჩაანაცვლეთ \frac{-3-\sqrt{195}}{8}-ით y განტოლებაში x=y+\frac{1}{4} და ამოხსენით, რათა იპოვოთ x-ის შესაბამისი ამონახსნი, რომელიც ორივე განტოლებას აკმაყოფილებს.

$$x=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}+\frac{1}{4}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{\sqrt{195}-3}{8}+\frac{1}{4},y=\frac{\sqrt{195}-3}{8}\text{ or }x=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}+\frac{1}{4},y=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}$$