გადაწყვიტეთ {l}{x-4y=1}{2x+y=16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 4 y = 1 } \\ { 2 x + y = 16 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{65}{9} = 7\frac{2}{9} \approx 7.222222222$$

$$y = \frac{14}{9} = 1\frac{5}{9} \approx 1.555555556$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x-4y=1,2x+y=16$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x-4y=1$$

მიუმატეთ 4y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=4y+1$$

ჩაანაცვლეთ 4y+1-ით x მეორე განტოლებაში, 2x+y=16.

$$2\left(4y+1\right)+y=16$$

გაამრავლეთ 2-ზე 4y+1.

$$8y+2+y=16$$

მიუმატეთ 8y y-ს.

$$9y+2=16$$

გამოაკელით 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$9y=14$$

ორივე მხარე გაყავით 9-ზე.

$$y=\frac{14}{9}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{14}{9}-ით y აქ: x=4y+1. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=4\times \frac{14}{9}+1$$

გაამრავლეთ 4-ზე \frac{14}{9}.

$$x=\frac{56}{9}+1$$

მიუმატეთ 1 \frac{56}{9}-ს.

$$x=\frac{65}{9}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{65}{9},y=\frac{14}{9}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x-4y=1,2x+y=16$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\16\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&-4\\2&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\16\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\16\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{1-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{1-\left(-4\times 2\right)}&\frac{1}{1-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\16\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{4}{9}\\-\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\16\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}+\frac{4}{9}\times 16\\-\frac{2}{9}+\frac{1}{9}\times 16\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{65}{9}\\\frac{14}{9}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{65}{9},y=\frac{14}{9}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x-4y=1,2x+y=16$$

იმისათვის, რომ x და 2x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$2x+2\left(-4\right)y=2,2x+y=16$$

გაამარტივეთ.

$$2x-8y=2,2x+y=16$$

გამოაკელით 2x+y=16 2x-8y=2-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$2x-2x-8y-y=2-16$$

მიუმატეთ 2x -2x-ს. პირობები 2x და -2x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-8y-y=2-16$$

მიუმატეთ -8y -y-ს.

$$-9y=2-16$$

მიუმატეთ 2 -16-ს.

$$-9y=-14$$

ორივე მხარე გაყავით -9-ზე.

$$y=\frac{14}{9}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{14}{9}-ით y აქ: 2x+y=16. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$2x+\frac{14}{9}=16$$

გამოაკელით \frac{14}{9} განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=\frac{130}{9}$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{65}{9}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{65}{9},y=\frac{14}{9}$$