გადაწყვიტეთ {l}{x-y+3/2=3x+y+1}{5x+y/2=2x-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - \frac { y + 3 } { 2 } = 3 x + y + 1 } \\ { \frac { 5 x + y } { 2 } = 2 x - 1 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=1$$

$$y=-3$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 2-ზე.

$$2x-\left(y+3\right)=6x+2y+2$$

y+3-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$2x-y-3=6x+2y+2$$

გამოაკელით 6x ორივე მხარეს.

$$2x-y-3-6x=2y+2$$

დააჯგუფეთ 2x და -6x, რათა მიიღოთ -4x.

$$-4x-y-3=2y+2$$

გამოაკელით 2y ორივე მხარეს.

$$-4x-y-3-2y=2$$

დააჯგუფეთ -y და -2y, რათა მიიღოთ -3y.

$$-4x-3y-3=2$$

დაამატეთ 3 ორივე მხარეს.

$$-4x-3y=2+3$$

შეკრიბეთ 2 და 3, რათა მიიღოთ 5.

$$-4x-3y=5$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 2-ზე.

$$5x+y=4x-2$$

გამოაკელით 4x ორივე მხარეს.

$$5x+y-4x=-2$$

დააჯგუფეთ 5x და -4x, რათა მიიღოთ x.

$$x+y=-2$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$-4x-3y=5,x+y=-2$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$-4x-3y=5$$

მიუმატეთ 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$-4x=3y+5$$

ორივე მხარე გაყავით -4-ზე.

$$x=-\frac{1}{4}\left(3y+5\right)$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{4}-ზე 3y+5.

$$x=-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-3y-5}{4}-ით x მეორე განტოლებაში, x+y=-2.

$$-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}+y=-2$$

მიუმატეთ -\frac{3y}{4} y-ს.

$$\frac{1}{4}y-\frac{5}{4}=-2$$

მიუმატეთ \frac{5}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{1}{4}y=-\frac{3}{4}$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ 4-ზე.

$$y=-3$$

ჩაანაცვლეთ -3-ით y აქ: x=-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-3\right)-\frac{5}{4}$$

გაამრავლეთ -\frac{3}{4}-ზე -3.

$$x=\frac{9-5}{4}$$

მიუმატეთ -\frac{5}{4} \frac{9}{4}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=1,y=-3$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 2-ზე.

$$2x-\left(y+3\right)=6x+2y+2$$

y+3-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$2x-y-3=6x+2y+2$$

გამოაკელით 6x ორივე მხარეს.

$$2x-y-3-6x=2y+2$$

დააჯგუფეთ 2x და -6x, რათა მიიღოთ -4x.

$$-4x-y-3=2y+2$$

გამოაკელით 2y ორივე მხარეს.

$$-4x-y-3-2y=2$$

დააჯგუფეთ -y და -2y, რათა მიიღოთ -3y.

$$-4x-3y-3=2$$

დაამატეთ 3 ორივე მხარეს.

$$-4x-3y=2+3$$

შეკრიბეთ 2 და 3, რათა მიიღოთ 5.

$$-4x-3y=5$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 2-ზე.

$$5x+y=4x-2$$

გამოაკელით 4x ორივე მხარეს.

$$5x+y-4x=-2$$

დააჯგუფეთ 5x და -4x, რათა მიიღოთ x.

$$x+y=-2$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$-4x-3y=5,x+y=-2$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-4-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-4-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-4-\left(-3\right)}&-\frac{4}{-4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-3\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5-3\left(-2\right)\\5+4\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=1,y=-3$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 2-ზე.

$$2x-\left(y+3\right)=6x+2y+2$$

y+3-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$2x-y-3=6x+2y+2$$

გამოაკელით 6x ორივე მხარეს.

$$2x-y-3-6x=2y+2$$

დააჯგუფეთ 2x და -6x, რათა მიიღოთ -4x.

$$-4x-y-3=2y+2$$

გამოაკელით 2y ორივე მხარეს.

$$-4x-y-3-2y=2$$

დააჯგუფეთ -y და -2y, რათა მიიღოთ -3y.

$$-4x-3y-3=2$$

დაამატეთ 3 ორივე მხარეს.

$$-4x-3y=2+3$$

შეკრიბეთ 2 და 3, რათა მიიღოთ 5.

$$-4x-3y=5$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 2-ზე.

$$5x+y=4x-2$$

გამოაკელით 4x ორივე მხარეს.

$$5x+y-4x=-2$$

დააჯგუფეთ 5x და -4x, რათა მიიღოთ x.

$$x+y=-2$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$-4x-3y=5,x+y=-2$$

იმისათვის, რომ -4x და x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს -4-ზე.

$$-4x-3y=5,-4x-4y=-4\left(-2\right)$$

გაამარტივეთ.

$$-4x-3y=5,-4x-4y=8$$

გამოაკელით -4x-4y=8 -4x-3y=5-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-4x+4x-3y+4y=5-8$$

მიუმატეთ -4x 4x-ს. პირობები -4x და 4x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-3y+4y=5-8$$

მიუმატეთ -3y 4y-ს.

$$y=5-8$$

მიუმატეთ 5 -8-ს.

$$y=-3$$

ჩაანაცვლეთ -3-ით y აქ: x+y=-2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x-3=-2$$

მიუმატეთ 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=1,y=-3$$