გადაწყვიტეთ {l}{x(1-2x)-y(1-y)=(y-sqrt{2}x)(y+sqrt{2}x)+3}{2x-(2y-1/4)^2+161/16=(2y+3)(3-2y)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x ( 1 - 2 x ) - y ( 1 - y ) = ( y - \sqrt { 2 } x ) ( y + \sqrt { 2 } x ) + 3 } \\ { 2 x - ( 2 y - \frac { 1 } { 4 } ) ^ { 2 } + 16 \frac { 1 } { 16 } = ( 2 y + 3 ) ( 3 - 2 y ) } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1.333333333$$

$$y = -\frac{13}{3} = -4\frac{1}{3} \approx -4.333333333$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x 1-2x-ზე.

$$x-2x^{2}-y\left(1-y\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ y 1-y-ზე.

$$x-2x^{2}-\left(y-y^{2}\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

y-y^{2}-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

განვიხილოთ \left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right). გამრავლება შეიძლება გარდაიქმნას კვადრატების სხვაობად, შემდეგი წესის გამოყენებით: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}x\right)^{2}+3$$

დაშალეთ \left(\sqrt{2}x\right)^{2}.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}x^{2}+3$$

\sqrt{2}-ის კვადრატია 2.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-2x^{2}+3$$

გამოაკელით y^{2} ორივე მხარეს.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}-y^{2}=-2x^{2}+3$$

დააჯგუფეთ y^{2} და -y^{2}, რათა მიიღოთ 0.

$$x-2x^{2}-y=-2x^{2}+3$$

დაამატეთ 2x^{2} ორივე მხარეს.

$$x-2x^{2}-y+2x^{2}=3$$

დააჯგუფეთ -2x^{2} და 2x^{2}, რათა მიიღოთ 0.

$$x-y=3$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 16-ზე.

$$16\left(2x-\left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$16\left(2x-\left(4y^{2}-y+\frac{1}{16}\right)\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

4y^{2}-y+\frac{1}{16}-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$16\left(2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 16 2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16}-ზე.

$$32x-64y^{2}+16y-1+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

გადაამრავლეთ 16 და 16, რათა მიიღოთ 256.

$$32x-64y^{2}+16y-1+256+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

შეკრიბეთ -1 და 256, რათა მიიღოთ 255.

$$32x-64y^{2}+16y+255+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

შეკრიბეთ 255 და 1, რათა მიიღოთ 256.

$$32x-64y^{2}+16y+256=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 16 2y+3-ზე.

$$32x-64y^{2}+16y+256=\left(32y+48\right)\left(3-2y\right)$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ 32y+48 3-2y-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$32x-64y^{2}+16y+256=-64y^{2}+144$$

დაამატეთ 64y^{2} ორივე მხარეს.

$$32x-64y^{2}+16y+256+64y^{2}=144$$

დააჯგუფეთ -64y^{2} და 64y^{2}, რათა მიიღოთ 0.

$$32x+16y+256=144$$

გამოაკელით 256 ორივე მხარეს.

$$32x+16y=144-256$$

გამოაკელით 256 144-ს -112-ის მისაღებად.

$$32x+16y=-112$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x-y=3,32x+16y=-112$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x-y=3$$

მიუმატეთ y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=y+3$$

ჩაანაცვლეთ y+3-ით x მეორე განტოლებაში, 32x+16y=-112.

$$32\left(y+3\right)+16y=-112$$

გაამრავლეთ 32-ზე y+3.

$$32y+96+16y=-112$$

მიუმატეთ 32y 16y-ს.

$$48y+96=-112$$

გამოაკელით 96 განტოლების ორივე მხარეს.

$$48y=-208$$

ორივე მხარე გაყავით 48-ზე.

$$y=-\frac{13}{3}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{13}{3}-ით y აქ: x=y+3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{13}{3}+3$$

მიუმატეთ 3 -\frac{13}{3}-ს.

$$x=-\frac{4}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{4}{3},y=-\frac{13}{3}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x 1-2x-ზე.

$$x-2x^{2}-y\left(1-y\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ y 1-y-ზე.

$$x-2x^{2}-\left(y-y^{2}\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

y-y^{2}-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

განვიხილოთ \left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right). გამრავლება შეიძლება გარდაიქმნას კვადრატების სხვაობად, შემდეგი წესის გამოყენებით: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}x\right)^{2}+3$$

დაშალეთ \left(\sqrt{2}x\right)^{2}.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}x^{2}+3$$

\sqrt{2}-ის კვადრატია 2.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-2x^{2}+3$$

გამოაკელით y^{2} ორივე მხარეს.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}-y^{2}=-2x^{2}+3$$

დააჯგუფეთ y^{2} და -y^{2}, რათა მიიღოთ 0.

$$x-2x^{2}-y=-2x^{2}+3$$

დაამატეთ 2x^{2} ორივე მხარეს.

$$x-2x^{2}-y+2x^{2}=3$$

დააჯგუფეთ -2x^{2} და 2x^{2}, რათა მიიღოთ 0.

$$x-y=3$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 16-ზე.

$$16\left(2x-\left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$16\left(2x-\left(4y^{2}-y+\frac{1}{16}\right)\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

4y^{2}-y+\frac{1}{16}-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$16\left(2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 16 2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16}-ზე.

$$32x-64y^{2}+16y-1+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

გადაამრავლეთ 16 და 16, რათა მიიღოთ 256.

$$32x-64y^{2}+16y-1+256+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

შეკრიბეთ -1 და 256, რათა მიიღოთ 255.

$$32x-64y^{2}+16y+255+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

შეკრიბეთ 255 და 1, რათა მიიღოთ 256.

$$32x-64y^{2}+16y+256=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 16 2y+3-ზე.

$$32x-64y^{2}+16y+256=\left(32y+48\right)\left(3-2y\right)$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ 32y+48 3-2y-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$32x-64y^{2}+16y+256=-64y^{2}+144$$

დაამატეთ 64y^{2} ორივე მხარეს.

$$32x-64y^{2}+16y+256+64y^{2}=144$$

დააჯგუფეთ -64y^{2} და 64y^{2}, რათა მიიღოთ 0.

$$32x+16y+256=144$$

გამოაკელით 256 ორივე მხარეს.

$$32x+16y=144-256$$

გამოაკელით 256 144-ს -112-ის მისაღებად.

$$32x+16y=-112$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x-y=3,32x+16y=-112$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{16-\left(-32\right)}&-\frac{-1}{16-\left(-32\right)}\\-\frac{32}{16-\left(-32\right)}&\frac{1}{16-\left(-32\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{48}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{48}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 3+\frac{1}{48}\left(-112\right)\\-\frac{2}{3}\times 3+\frac{1}{48}\left(-112\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3}\\-\frac{13}{3}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-\frac{4}{3},y=-\frac{13}{3}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x 1-2x-ზე.

$$x-2x^{2}-y\left(1-y\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ y 1-y-ზე.

$$x-2x^{2}-\left(y-y^{2}\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

y-y^{2}-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

განვიხილოთ \left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right). გამრავლება შეიძლება გარდაიქმნას კვადრატების სხვაობად, შემდეგი წესის გამოყენებით: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}x\right)^{2}+3$$

დაშალეთ \left(\sqrt{2}x\right)^{2}.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}x^{2}+3$$

\sqrt{2}-ის კვადრატია 2.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-2x^{2}+3$$

გამოაკელით y^{2} ორივე მხარეს.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}-y^{2}=-2x^{2}+3$$

დააჯგუფეთ y^{2} და -y^{2}, რათა მიიღოთ 0.

$$x-2x^{2}-y=-2x^{2}+3$$

დაამატეთ 2x^{2} ორივე მხარეს.

$$x-2x^{2}-y+2x^{2}=3$$

დააჯგუფეთ -2x^{2} და 2x^{2}, რათა მიიღოთ 0.

$$x-y=3$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 16-ზე.

$$16\left(2x-\left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$16\left(2x-\left(4y^{2}-y+\frac{1}{16}\right)\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

4y^{2}-y+\frac{1}{16}-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$16\left(2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 16 2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16}-ზე.

$$32x-64y^{2}+16y-1+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

გადაამრავლეთ 16 და 16, რათა მიიღოთ 256.

$$32x-64y^{2}+16y-1+256+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

შეკრიბეთ -1 და 256, რათა მიიღოთ 255.

$$32x-64y^{2}+16y+255+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

შეკრიბეთ 255 და 1, რათა მიიღოთ 256.

$$32x-64y^{2}+16y+256=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 16 2y+3-ზე.

$$32x-64y^{2}+16y+256=\left(32y+48\right)\left(3-2y\right)$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ 32y+48 3-2y-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$32x-64y^{2}+16y+256=-64y^{2}+144$$

დაამატეთ 64y^{2} ორივე მხარეს.

$$32x-64y^{2}+16y+256+64y^{2}=144$$

დააჯგუფეთ -64y^{2} და 64y^{2}, რათა მიიღოთ 0.

$$32x+16y+256=144$$

გამოაკელით 256 ორივე მხარეს.

$$32x+16y=144-256$$

გამოაკელით 256 144-ს -112-ის მისაღებად.

$$32x+16y=-112$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x-y=3,32x+16y=-112$$

იმისათვის, რომ x და 32x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 32-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$32x+32\left(-1\right)y=32\times 3,32x+16y=-112$$

გაამარტივეთ.

$$32x-32y=96,32x+16y=-112$$

გამოაკელით 32x+16y=-112 32x-32y=96-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$32x-32x-32y-16y=96+112$$

მიუმატეთ 32x -32x-ს. პირობები 32x და -32x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-32y-16y=96+112$$

მიუმატეთ -32y -16y-ს.

$$-48y=96+112$$

მიუმატეთ 96 112-ს.

$$-48y=208$$

ორივე მხარე გაყავით -48-ზე.

$$y=-\frac{13}{3}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{13}{3}-ით y აქ: 32x+16y=-112. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$32x+16\left(-\frac{13}{3}\right)=-112$$

გაამრავლეთ 16-ზე -\frac{13}{3}.

$$32x-\frac{208}{3}=-112$$

მიუმატეთ \frac{208}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$32x=-\frac{128}{3}$$

ორივე მხარე გაყავით 32-ზე.

$$x=-\frac{4}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{4}{3},y=-\frac{13}{3}$$