გადაწყვიტეთ {l}{xsqrt{2}-ysqrt{5}=2sqrt{10}}{xsqrt{5}+ysqrt{2}=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x \sqrt { 2 } - y \sqrt { 5 } = 2 \sqrt { 10 } } \\ { x \sqrt { 5 } + y \sqrt { 2 } = 3 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=\sqrt{5}\approx 2.236067977$$

$$y=-\sqrt{2}\approx -1.414213562$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გადაალაგეთ წევრები.

$$\sqrt{2}x-\sqrt{5}y=2\sqrt{10}$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$\sqrt{2}x+\left(-\sqrt{5}\right)y=2\sqrt{10},\sqrt{5}x+\sqrt{2}y=3$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$\sqrt{2}x+\left(-\sqrt{5}\right)y=2\sqrt{10}$$

მიუმატეთ \sqrt{5}y განტოლების ორივე მხარეს.

$$\sqrt{2}x=\sqrt{5}y+2\sqrt{10}$$

ორივე მხარე გაყავით \sqrt{2}-ზე.

$$x=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\sqrt{5}y+2\sqrt{10}\right)$$

გაამრავლეთ \frac{\sqrt{2}}{2}-ზე \sqrt{5}y+2\sqrt{10}.

$$x=\frac{\sqrt{10}}{2}y+2\sqrt{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{\sqrt{10}y}{2}+2\sqrt{5}-ით x მეორე განტოლებაში, \sqrt{5}x+\sqrt{2}y=3.

$$\sqrt{5}\left(\frac{\sqrt{10}}{2}y+2\sqrt{5}\right)+\sqrt{2}y=3$$

გაამრავლეთ \sqrt{5}-ზე \frac{\sqrt{10}y}{2}+2\sqrt{5}.

$$\frac{5\sqrt{2}}{2}y+10+\sqrt{2}y=3$$

მიუმატეთ \frac{5\sqrt{2}y}{2} \sqrt{2}y-ს.

$$\frac{7\sqrt{2}}{2}y+10=3$$

გამოაკელით 10 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{7\sqrt{2}}{2}y=-7$$

ორივე მხარე გაყავით \frac{7\sqrt{2}}{2}-ზე.

$$y=-\sqrt{2}$$

ჩაანაცვლეთ -\sqrt{2}-ით y აქ: x=\frac{\sqrt{10}}{2}y+2\sqrt{5}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{\sqrt{10}}{2}\left(-\sqrt{2}\right)+2\sqrt{5}$$

გაამრავლეთ \frac{\sqrt{10}}{2}-ზე -\sqrt{2}.

$$x=-\sqrt{5}+2\sqrt{5}$$

მიუმატეთ 2\sqrt{5} -\sqrt{5}-ს.

$$x=\sqrt{5}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\sqrt{5},y=-\sqrt{2}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გადაალაგეთ წევრები.

$$\sqrt{2}x-\sqrt{5}y=2\sqrt{10}$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$\sqrt{2}x+\left(-\sqrt{5}\right)y=2\sqrt{10},\sqrt{5}x+\sqrt{2}y=3$$

იმისათვის, რომ \sqrt{2}x და \sqrt{5}x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს \sqrt{5}-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს \sqrt{2}-ზე.

$$\sqrt{5}\sqrt{2}x+\sqrt{5}\left(-\sqrt{5}\right)y=\sqrt{5}\times 2\sqrt{10},\sqrt{2}\sqrt{5}x+\sqrt{2}\sqrt{2}y=\sqrt{2}\times 3$$

გაამარტივეთ.

$$\sqrt{10}x-5y=10\sqrt{2},\sqrt{10}x+2y=3\sqrt{2}$$

გამოაკელით \sqrt{10}x+2y=3\sqrt{2} \sqrt{10}x-5y=10\sqrt{2}-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$\sqrt{10}x+\left(-\sqrt{10}\right)x-5y-2y=10\sqrt{2}-3\sqrt{2}$$

მიუმატეთ \sqrt{10}x -\sqrt{10}x-ს. პირობები \sqrt{10}x და -\sqrt{10}x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-5y-2y=10\sqrt{2}-3\sqrt{2}$$

მიუმატეთ -5y -2y-ს.

$$-7y=10\sqrt{2}-3\sqrt{2}$$

მიუმატეთ 10\sqrt{2} -3\sqrt{2}-ს.

$$-7y=7\sqrt{2}$$

ორივე მხარე გაყავით -7-ზე.

$$y=-\sqrt{2}$$

ჩაანაცვლეთ -\sqrt{2}-ით y აქ: \sqrt{5}x+\sqrt{2}y=3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$\sqrt{5}x+\sqrt{2}\left(-\sqrt{2}\right)=3$$

გაამრავლეთ \sqrt{2}-ზე -\sqrt{2}.

$$\sqrt{5}x-2=3$$

მიუმატეთ 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\sqrt{5}x=5$$

ორივე მხარე გაყავით \sqrt{5}-ზე.

$$x=\sqrt{5}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\sqrt{5},y=-\sqrt{2}$$