გადაწყვიტეთ {l}{x^2+y^2=9}{x+y=a}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 9 } \\ { x + y = a } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

$$x=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

ეტაპები ჩანაცვლების და კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ამოხსენით x+y=a x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x+y=a$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-y+a$$

ჩაანაცვლეთ -y+a-ით x მეორე განტოლებაში, y^{2}+x^{2}=9.

$$y^{2}+\left(-y+a\right)^{2}=9$$

აიყვანეთ კვადრატში -y+a.

$$y^{2}+y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}=9$$

მიუმატეთ y^{2} y^{2}-ს.

$$2y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}=9$$

გამოაკელით 9 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}-9=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 1+1\left(-1\right)^{2}-ით a, 1\left(-1\right)\times 2a-ით b და -9+a^{2}-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{\left(-2a\right)^{2}-4\times 2\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 1\left(-1\right)\times 2a.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}-4\times 2\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}-8\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -8-ზე -9+a^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}+72-8a^{2}}}{2\times 2}$$

მიუმატეთ 4a^{2} 72-8a^{2}-ს.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{72-4a^{2}}}{2\times 2}$$

აიღეთ 72-4a^{2}-ის კვადრატული ფესვი.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±2\sqrt{18-a^{2}}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 2a 2\sqrt{18-a^{2}}-ს.

$$y=\frac{2\sqrt{18-a^{2}}+2a}{4}$$

გაყავით 2a+2\sqrt{18-a^{2}} 4-ზე.

$$y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2\sqrt{18-a^{2}} 2a-ს.

$$y=\frac{-2\sqrt{18-a^{2}}+2a}{4}$$

გაყავით 2a-2\sqrt{18-a^{2}} 4-ზე.

$$y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

არსებობს y-ის ორი ამონახსნი: \frac{a+\sqrt{18-a^{2}}}{2} და \frac{a-\sqrt{18-a^{2}}}{2}. ჩაანაცვლეთ \frac{a+\sqrt{18-a^{2}}}{2}-ით y განტოლებაში x=-y+a, რათა იპოვოთ x-ის შესაბამისი ამონახსნი, რომელიც ორივე განტოლებას აკმაყოფილებს.

$$x=-\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a$$

ახლა ჩაანაცვლეთ \frac{a-\sqrt{18-a^{2}}}{2}-ით y განტოლებაში x=-y+a და ამოხსენით, რათა იპოვოთ x-ის შესაბამისი ამონახსნი, რომელიც ორივე განტოლებას აკმაყოფილებს.

$$x=-\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a,y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{ or }x=-\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a,y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

$$x=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }|a|\leq 3\sqrt{2}$$

ეტაპები ჩანაცვლების და კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x+y=a,y^{2}+x^{2}=9$$

ამოხსენით x+y=a x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x+y=a$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-y+a$$

ჩაანაცვლეთ -y+a-ით x მეორე განტოლებაში, y^{2}+x^{2}=9.

$$y^{2}+\left(-y+a\right)^{2}=9$$

აიყვანეთ კვადრატში -y+a.

$$y^{2}+y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}=9$$

მიუმატეთ y^{2} y^{2}-ს.

$$2y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}=9$$

გამოაკელით 9 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}-9=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 1+1\left(-1\right)^{2}-ით a, 1\left(-1\right)\times 2a-ით b და -9+a^{2}-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{\left(-2a\right)^{2}-4\times 2\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 1\left(-1\right)\times 2a.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}-4\times 2\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}-8\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -8-ზე -9+a^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}+72-8a^{2}}}{2\times 2}$$

მიუმატეთ 4a^{2} 72-8a^{2}-ს.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{72-4a^{2}}}{2\times 2}$$

აიღეთ 72-4a^{2}-ის კვადრატული ფესვი.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±2\sqrt{18-a^{2}}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 2a 2\sqrt{18-a^{2}}-ს.

$$y=\frac{2\sqrt{18-a^{2}}+2a}{4}$$

გაყავით 2a+2\sqrt{18-a^{2}} 4-ზე.

$$y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2\sqrt{18-a^{2}} 2a-ს.

$$y=\frac{-2\sqrt{18-a^{2}}+2a}{4}$$

გაყავით 2a-2\sqrt{18-a^{2}} 4-ზე.

$$y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

არსებობს y-ის ორი ამონახსნი: \frac{a+\sqrt{18-a^{2}}}{2} და \frac{a-\sqrt{18-a^{2}}}{2}. ჩაანაცვლეთ \frac{a+\sqrt{18-a^{2}}}{2}-ით y განტოლებაში x=-y+a, რათა იპოვოთ x-ის შესაბამისი ამონახსნი, რომელიც ორივე განტოლებას აკმაყოფილებს.

$$x=-\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a$$

ახლა ჩაანაცვლეთ \frac{a-\sqrt{18-a^{2}}}{2}-ით y განტოლებაში x=-y+a და ამოხსენით, რათა იპოვოთ x-ის შესაბამისი ამონახსნი, რომელიც ორივე განტოლებას აკმაყოფილებს.

$$x=-\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a,y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{ or }x=-\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a,y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$