გადაწყვიტეთ {l}{x=2y+1}{x=3y-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 2 y + 1 } \\ { x = 3 y - 4 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=11$$

$$y=5$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 2y ორივე მხარეს.

$$x-2y=1$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 3y ორივე მხარეს.

$$x-3y=-4$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x-2y=1,x-3y=-4$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x-2y=1$$

მიუმატეთ 2y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=2y+1$$

ჩაანაცვლეთ 2y+1-ით x მეორე განტოლებაში, x-3y=-4.

$$2y+1-3y=-4$$

მიუმატეთ 2y -3y-ს.

$$-y+1=-4$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-y=-5$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$y=5$$

ჩაანაცვლეთ 5-ით y აქ: x=2y+1. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=2\times 5+1$$

გაამრავლეთ 2-ზე 5.

$$x=10+1$$

მიუმატეთ 1 10-ს.

$$x=11$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=11,y=5$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 2y ორივე მხარეს.

$$x-2y=1$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 3y ორივე მხარეს.

$$x-3y=-4$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x-2y=1,x-3y=-4$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{-3-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{-3-\left(-2\right)}&\frac{1}{-3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3-2\left(-4\right)\\1-\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\5\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=11,y=5$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 2y ორივე მხარეს.

$$x-2y=1$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 3y ორივე მხარეს.

$$x-3y=-4$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x-2y=1,x-3y=-4$$

გამოაკელით x-3y=-4 x-2y=1-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$x-x-2y+3y=1+4$$

მიუმატეთ x -x-ს. პირობები x და -x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-2y+3y=1+4$$

მიუმატეთ -2y 3y-ს.

$$y=1+4$$

მიუმატეთ 1 4-ს.

$$y=5$$

ჩაანაცვლეთ 5-ით y აქ: x-3y=-4. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x-3\times 5=-4$$

გაამრავლეთ -3-ზე 5.

$$x-15=-4$$

მიუმატეთ 15 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=11$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=11,y=5$$