გადაწყვიტეთ {l}{x=3/4y}{y=8/9x-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = \frac { 3 } { 4 } y } \\ { y = \frac { 8 } { 9 } x - 4 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-9$$

$$y=-12$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით \frac{3}{4}y ორივე მხარეს.

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით \frac{8}{9}x ორივე მხარეს.

$$y-\frac{8}{9}x=-4$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x-\frac{3}{4}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

მიუმატეთ \frac{3y}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{3}{4}y$$

ჩაანაცვლეთ \frac{3y}{4}-ით x მეორე განტოლებაში, -\frac{8}{9}x+y=-4.

$$-\frac{8}{9}\times \frac{3}{4}y+y=-4$$

გაამრავლეთ -\frac{8}{9}-ზე \frac{3y}{4}.

$$-\frac{2}{3}y+y=-4$$

მიუმატეთ -\frac{2y}{3} y-ს.

$$\frac{1}{3}y=-4$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ 3-ზე.

$$y=-12$$

ჩაანაცვლეთ -12-ით y აქ: x=\frac{3}{4}y. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{3}{4}\left(-12\right)$$

გაამრავლეთ \frac{3}{4}-ზე -12.

$$x=-9$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-9,y=-12$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით \frac{3}{4}y ორივე მხარეს.

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით \frac{8}{9}x ორივე მხარეს.

$$y-\frac{8}{9}x=-4$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x-\frac{3}{4}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}&-\frac{-\frac{3}{4}}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{8}{9}}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&\frac{9}{4}\\\frac{8}{3}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{4}\left(-4\right)\\3\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-9,y=-12$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით \frac{3}{4}y ორივე მხარეს.

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით \frac{8}{9}x ორივე მხარეს.

$$y-\frac{8}{9}x=-4$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x-\frac{3}{4}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

იმისათვის, რომ x და -\frac{8x}{9} ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -\frac{8}{9}-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$-\frac{8}{9}x-\frac{8}{9}\left(-\frac{3}{4}\right)y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

გაამარტივეთ.

$$-\frac{8}{9}x+\frac{2}{3}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

გამოაკელით -\frac{8}{9}x+y=-4 -\frac{8}{9}x+\frac{2}{3}y=0-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-\frac{8}{9}x+\frac{8}{9}x+\frac{2}{3}y-y=4$$

მიუმატეთ -\frac{8x}{9} \frac{8x}{9}-ს. პირობები -\frac{8x}{9} და \frac{8x}{9} გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$\frac{2}{3}y-y=4$$

მიუმატეთ \frac{2y}{3} -y-ს.

$$-\frac{1}{3}y=4$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ -3-ზე.

$$y=-12$$

ჩაანაცვლეთ -12-ით y აქ: -\frac{8}{9}x+y=-4. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-\frac{8}{9}x-12=-4$$

მიუმატეთ 12 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{8}{9}x=8$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{8}{9}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=-9$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-9,y=-12$$