გადაწყვიტეთ {l}{x+y=9}{100x+50y=4500}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 9 } \\ { 100 x + 50 y = 4500 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=81$$

$$y=-72$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x+y=9,100x+50y=4500$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x+y=9$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-y+9$$

ჩაანაცვლეთ -y+9-ით x მეორე განტოლებაში, 100x+50y=4500.

$$100\left(-y+9\right)+50y=4500$$

გაამრავლეთ 100-ზე -y+9.

$$-100y+900+50y=4500$$

მიუმატეთ -100y 50y-ს.

$$-50y+900=4500$$

გამოაკელით 900 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-50y=3600$$

ორივე მხარე გაყავით -50-ზე.

$$y=-72$$

ჩაანაცვლეთ -72-ით y აქ: x=-y+9. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\left(-72\right)+9$$

გაამრავლეთ -1-ზე -72.

$$x=72+9$$

მიუმატეთ 9 72-ს.

$$x=81$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=81,y=-72$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x+y=9,100x+50y=4500$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\100&50\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\4500\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&1\\100&50\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\100&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\100&50\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\100&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\4500\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\100&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\4500\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\100&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\4500\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{50}{50-100}&-\frac{1}{50-100}\\-\frac{100}{50-100}&\frac{1}{50-100}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\4500\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&\frac{1}{50}\\2&-\frac{1}{50}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\4500\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9+\frac{1}{50}\times 4500\\2\times 9-\frac{1}{50}\times 4500\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}81\\-72\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=81,y=-72$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x+y=9,100x+50y=4500$$

იმისათვის, რომ x და 100x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 100-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$100x+100y=100\times 9,100x+50y=4500$$

გაამარტივეთ.

$$100x+100y=900,100x+50y=4500$$

გამოაკელით 100x+50y=4500 100x+100y=900-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$100x-100x+100y-50y=900-4500$$

მიუმატეთ 100x -100x-ს. პირობები 100x და -100x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$100y-50y=900-4500$$

მიუმატეთ 100y -50y-ს.

$$50y=900-4500$$

მიუმატეთ 900 -4500-ს.

$$50y=-3600$$

ორივე მხარე გაყავით 50-ზე.

$$y=-72$$

ჩაანაცვლეთ -72-ით y აქ: 100x+50y=4500. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$100x+50\left(-72\right)=4500$$

გაამრავლეთ 50-ზე -72.

$$100x-3600=4500$$

მიუმატეთ 3600 განტოლების ორივე მხარეს.

$$100x=8100$$

ორივე მხარე გაყავით 100-ზე.

$$x=81$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=81,y=-72$$