გადაწყვიტეთ {l}{x+y=51x+6}{x-2y=-17}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 51 x + 6 } \\ { x - 2 y = - 17 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=\frac{5}{99}\approx 0.050505051$$

$$y = \frac{844}{99} = 8\frac{52}{99} \approx 8.525252525$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 51x ორივე მხარეს.

$$x+y-51x=6$$

დააჯგუფეთ x და -51x, რათა მიიღოთ -50x.

$$-50x+y=6$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$-50x+y=6,x-2y=-17$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$-50x+y=6$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$-50x=-y+6$$

ორივე მხარე გაყავით -50-ზე.

$$x=-\frac{1}{50}\left(-y+6\right)$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{50}-ზე -y+6.

$$x=\frac{1}{50}y-\frac{3}{25}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{3}{25}+\frac{y}{50}-ით x მეორე განტოლებაში, x-2y=-17.

$$\frac{1}{50}y-\frac{3}{25}-2y=-17$$

მიუმატეთ \frac{y}{50} -2y-ს.

$$-\frac{99}{50}y-\frac{3}{25}=-17$$

მიუმატეთ \frac{3}{25} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{99}{50}y=-\frac{422}{25}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{99}{50}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{844}{99}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{844}{99}-ით y აქ: x=\frac{1}{50}y-\frac{3}{25}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{1}{50}\times \frac{844}{99}-\frac{3}{25}$$

გაამრავლეთ \frac{1}{50}-ზე \frac{844}{99} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=\frac{422}{2475}-\frac{3}{25}$$

მიუმატეთ -\frac{3}{25} \frac{422}{2475}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{5}{99}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{5}{99},y=\frac{844}{99}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 51x ორივე მხარეს.

$$x+y-51x=6$$

დააჯგუფეთ x და -51x, რათა მიიღოთ -50x.

$$-50x+y=6$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$-50x+y=6,x-2y=-17$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}-50&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-17\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}-50&1\\1&-2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-50&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-50&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-50&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-17\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-50&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-17\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-50&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-17\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-50\left(-2\right)-1}&-\frac{1}{-50\left(-2\right)-1}\\-\frac{1}{-50\left(-2\right)-1}&-\frac{50}{-50\left(-2\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-17\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{99}&-\frac{1}{99}\\-\frac{1}{99}&-\frac{50}{99}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-17\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{99}\times 6-\frac{1}{99}\left(-17\right)\\-\frac{1}{99}\times 6-\frac{50}{99}\left(-17\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{99}\\\frac{844}{99}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{5}{99},y=\frac{844}{99}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 51x ორივე მხარეს.

$$x+y-51x=6$$

დააჯგუფეთ x და -51x, რათა მიიღოთ -50x.

$$-50x+y=6$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$-50x+y=6,x-2y=-17$$

იმისათვის, რომ -50x და x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს -50-ზე.

$$-50x+y=6,-50x-50\left(-2\right)y=-50\left(-17\right)$$

გაამარტივეთ.

$$-50x+y=6,-50x+100y=850$$

გამოაკელით -50x+100y=850 -50x+y=6-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-50x+50x+y-100y=6-850$$

მიუმატეთ -50x 50x-ს. პირობები -50x და 50x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$y-100y=6-850$$

მიუმატეთ y -100y-ს.

$$-99y=6-850$$

მიუმატეთ 6 -850-ს.

$$-99y=-844$$

ორივე მხარე გაყავით -99-ზე.

$$y=\frac{844}{99}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{844}{99}-ით y აქ: x-2y=-17. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x-2\times \frac{844}{99}=-17$$

გაამრავლეთ -2-ზე \frac{844}{99}.

$$x-\frac{1688}{99}=-17$$

მიუმატეთ \frac{1688}{99} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{5}{99}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{5}{99},y=\frac{844}{99}$$