გადაწყვიტეთ {l}{x+y=30}{20x+25y=690}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 30 } \\ { 20 x + 25 y = 690 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=12$$

$$y=18$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x+y=30,20x+25y=690$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x+y=30$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-y+30$$

ჩაანაცვლეთ -y+30-ით x მეორე განტოლებაში, 20x+25y=690.

$$20\left(-y+30\right)+25y=690$$

გაამრავლეთ 20-ზე -y+30.

$$-20y+600+25y=690$$

მიუმატეთ -20y 25y-ს.

$$5y+600=690$$

გამოაკელით 600 განტოლების ორივე მხარეს.

$$5y=90$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$y=18$$

ჩაანაცვლეთ 18-ით y აქ: x=-y+30. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-18+30$$

მიუმატეთ 30 -18-ს.

$$x=12$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=12,y=18$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x+y=30,20x+25y=690$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\690\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\690\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\690\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\690\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{25-20}&-\frac{1}{25-20}\\-\frac{20}{25-20}&\frac{1}{25-20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\690\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-\frac{1}{5}\\-4&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\690\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 30-\frac{1}{5}\times 690\\-4\times 30+\frac{1}{5}\times 690\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\18\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=12,y=18$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x+y=30,20x+25y=690$$

იმისათვის, რომ x და 20x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 20-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$20x+20y=20\times 30,20x+25y=690$$

გაამარტივეთ.

$$20x+20y=600,20x+25y=690$$

გამოაკელით 20x+25y=690 20x+20y=600-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$20x-20x+20y-25y=600-690$$

მიუმატეთ 20x -20x-ს. პირობები 20x და -20x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$20y-25y=600-690$$

მიუმატეთ 20y -25y-ს.

$$-5y=600-690$$

მიუმატეთ 600 -690-ს.

$$-5y=-90$$

ორივე მხარე გაყავით -5-ზე.

$$y=18$$

ჩაანაცვლეთ 18-ით y აქ: 20x+25y=690. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$20x+25\times 18=690$$

გაამრავლეთ 25-ზე 18.

$$20x+450=690$$

გამოაკელით 450 განტოლების ორივე მხარეს.

$$20x=240$$

ორივე მხარე გაყავით 20-ზე.

$$x=12$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=12,y=18$$