გადაწყვიტეთ {l}{x+y=30}{2x+25y=698}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 30 } \\ { 2 x + 25 y = 698 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{52}{23} = 2\frac{6}{23} \approx 2.260869565$$

$$y = \frac{638}{23} = 27\frac{17}{23} \approx 27.739130435$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x+y=30,2x+25y=698$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x+y=30$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-y+30$$

ჩაანაცვლეთ -y+30-ით x მეორე განტოლებაში, 2x+25y=698.

$$2\left(-y+30\right)+25y=698$$

გაამრავლეთ 2-ზე -y+30.

$$-2y+60+25y=698$$

მიუმატეთ -2y 25y-ს.

$$23y+60=698$$

გამოაკელით 60 განტოლების ორივე მხარეს.

$$23y=638$$

ორივე მხარე გაყავით 23-ზე.

$$y=\frac{638}{23}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{638}{23}-ით y აქ: x=-y+30. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{638}{23}+30$$

მიუმატეთ 30 -\frac{638}{23}-ს.

$$x=\frac{52}{23}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{52}{23},y=\frac{638}{23}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x+y=30,2x+25y=698$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\698\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&1\\2&25\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\698\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\698\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\698\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{25-2}&-\frac{1}{25-2}\\-\frac{2}{25-2}&\frac{1}{25-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\698\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{23}&-\frac{1}{23}\\-\frac{2}{23}&\frac{1}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\698\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{23}\times 30-\frac{1}{23}\times 698\\-\frac{2}{23}\times 30+\frac{1}{23}\times 698\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{52}{23}\\\frac{638}{23}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{52}{23},y=\frac{638}{23}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x+y=30,2x+25y=698$$

იმისათვის, რომ x და 2x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$2x+2y=2\times 30,2x+25y=698$$

გაამარტივეთ.

$$2x+2y=60,2x+25y=698$$

გამოაკელით 2x+25y=698 2x+2y=60-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$2x-2x+2y-25y=60-698$$

მიუმატეთ 2x -2x-ს. პირობები 2x და -2x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$2y-25y=60-698$$

მიუმატეთ 2y -25y-ს.

$$-23y=60-698$$

მიუმატეთ 60 -698-ს.

$$-23y=-638$$

ორივე მხარე გაყავით -23-ზე.

$$y=\frac{638}{23}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{638}{23}-ით y აქ: 2x+25y=698. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$2x+25\times \frac{638}{23}=698$$

გაამრავლეთ 25-ზე \frac{638}{23}.

$$2x+\frac{15950}{23}=698$$

გამოაკელით \frac{15950}{23} განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=\frac{104}{23}$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{52}{23}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{52}{23},y=\frac{638}{23}$$