გადაწყვიტეთ {l}{x+y=240}{156-3x+168.3y+161*120=1668*360}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 240 } \\ { 156 - 3 x + 168.3 y + 161 \times 120 = 1668 \times 360 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = -\frac{1802040}{571} = -3155\frac{535}{571} \approx -3155.936952715$$

$$y = \frac{1939080}{571} = 3395\frac{535}{571} \approx 3395.936952715$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x+y=240,-3x+168.3y+19476=600480$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x+y=240$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-y+240$$

ჩაანაცვლეთ -y+240-ით x მეორე განტოლებაში, -3x+168.3y+19476=600480.

$$-3\left(-y+240\right)+168.3y+19476=600480$$

გაამრავლეთ -3-ზე -y+240.

$$3y-720+168.3y+19476=600480$$

მიუმატეთ 3y \frac{1683y}{10}-ს.

$$171.3y-720+19476=600480$$

მიუმატეთ -720 19476-ს.

$$171.3y+18756=600480$$

გამოაკელით 18756 განტოლების ორივე მხარეს.

$$171.3y=581724$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით 171.3-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{1939080}{571}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{1939080}{571}-ით y აქ: x=-y+240. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{1939080}{571}+240$$

მიუმატეთ 240 -\frac{1939080}{571}-ს.

$$x=-\frac{1802040}{571}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{1802040}{571},y=\frac{1939080}{571}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x+y=240,-3x+168.3y+19476=600480$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-3&168.3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}240\\581004\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&1\\-3&168.3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&168.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-3&168.3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&168.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}240\\581004\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&168.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}240\\581004\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&168.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}240\\581004\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{168.3}{168.3-\left(-3\right)}&-\frac{1}{168.3-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{168.3-\left(-3\right)}&\frac{1}{168.3-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}240\\581004\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{561}{571}&-\frac{10}{1713}\\\frac{10}{571}&\frac{10}{1713}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}240\\581004\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{561}{571}\times 240-\frac{10}{1713}\times 581004\\\frac{10}{571}\times 240+\frac{10}{1713}\times 581004\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1802040}{571}\\\frac{1939080}{571}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-\frac{1802040}{571},y=\frac{1939080}{571}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x+y=240,-3x+168.3y+19476=600480$$

იმისათვის, რომ x და -3x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$-3x-3y=-3\times 240,-3x+168.3y+19476=600480$$

გაამარტივეთ.

$$-3x-3y=-720,-3x+168.3y+19476=600480$$

გამოაკელით -3x+168.3y+19476=600480 -3x-3y=-720-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-3x+3x-3y-168.3y-19476=-720-600480$$

მიუმატეთ -3x 3x-ს. პირობები -3x და 3x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-3y-168.3y-19476=-720-600480$$

მიუმატეთ -3y -\frac{1683y}{10}-ს.

$$-171.3y-19476=-720-600480$$

მიუმატეთ -720 -600480-ს.

$$-171.3y-19476=-601200$$

მიუმატეთ 19476 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-171.3y=-581724$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -171.3-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{1939080}{571}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{1939080}{571}-ით y აქ: -3x+168.3y+19476=600480. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-3x+168.3\times \frac{1939080}{571}+19476=600480$$

გაამრავლეთ 168.3-ზე \frac{1939080}{571} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$-3x+\frac{326347164}{571}+19476=600480$$

მიუმატეთ \frac{326347164}{571} 19476-ს.

$$-3x+\frac{337467960}{571}=600480$$

გამოაკელით \frac{337467960}{571} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-3x=\frac{5406120}{571}$$

ორივე მხარე გაყავით -3-ზე.

$$x=-\frac{1802040}{571}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{1802040}{571},y=\frac{1939080}{571}$$