\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 204 } \\ { \frac { 2 } { 3 } y = \frac { 3 } { 4 } x } \end{array} \right.
ამოხსნა x, y-ისთვის
x=96
y=108
დიაგრამა
გაზიარება
კოპირებულია ბუფერში
\frac{2}{3}y-\frac{3}{4}x=0
განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით \frac{3}{4}x ორივე მხარეს.
x+y=204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0
განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.
x+y=204
აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.
x=-y+204
გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.
-\frac{3}{4}\left(-y+204\right)+\frac{2}{3}y=0
ჩაანაცვლეთ -y+204-ით x მეორე განტოლებაში, -\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0.
\frac{3}{4}y-153+\frac{2}{3}y=0
გაამრავლეთ -\frac{3}{4}-ზე -y+204.
\frac{17}{12}y-153=0
მიუმატეთ \frac{3y}{4} \frac{2y}{3}-ს.
\frac{17}{12}y=153
მიუმატეთ 153 განტოლების ორივე მხარეს.
y=108
განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{17}{12}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.
x=-108+204
ჩაანაცვლეთ 108-ით y აქ: x=-y+204. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.
x=96
მიუმატეთ 204 -108-ს.
x=96,y=108
სისტემა ახლა ამოხსნილია.
\frac{2}{3}y-\frac{3}{4}x=0
განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით \frac{3}{4}x ორივე მხარეს.
x+y=204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0
გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.
\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)
ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.
inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)
მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)
მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)
ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}&-\frac{1}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}\\-\frac{-\frac{3}{4}}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}&\frac{1}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)
2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{17}&-\frac{12}{17}\\\frac{9}{17}&\frac{12}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)
შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{17}\times 204\\\frac{9}{17}\times 204\end{matrix}\right)
გადაამრავლეთ მატრიცები.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}96\\108\end{matrix}\right)
შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.
x=96,y=108
ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.
\frac{2}{3}y-\frac{3}{4}x=0
განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით \frac{3}{4}x ორივე მხარეს.
x+y=204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0
გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.
-\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y=-\frac{3}{4}\times 204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0
იმისათვის, რომ x და -\frac{3x}{4} ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -\frac{3}{4}-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.
-\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y=-153,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0
გაამარტივეთ.
-\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y-\frac{2}{3}y=-153
გამოაკელით -\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0 -\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y=-153-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.
-\frac{3}{4}y-\frac{2}{3}y=-153
მიუმატეთ -\frac{3x}{4} \frac{3x}{4}-ს. პირობები -\frac{3x}{4} და \frac{3x}{4} გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.
-\frac{17}{12}y=-153
მიუმატეთ -\frac{3y}{4} -\frac{2y}{3}-ს.
y=108
განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{17}{12}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.
-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}\times 108=0
ჩაანაცვლეთ 108-ით y აქ: -\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.
-\frac{3}{4}x+72=0
გაამრავლეთ \frac{2}{3}-ზე 108.
-\frac{3}{4}x=-72
გამოაკელით 72 განტოლების ორივე მხარეს.
x=96
განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{3}{4}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.
x=96,y=108
სისტემა ახლა ამოხსნილია.
მაგალითები
კვადრატული განტოლება
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
ტრიგონომეტრია
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
ხაზოვანი განტოლება
y = 3x + 4
არითმეტიკა
699 * 533
მატრიცა
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
სინქრონული განტოლება
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
დიფერენცირება
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
ინტეგრაცია
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
ლიმიტები
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}