გადაწყვიტეთ {l}{x+y+1=0}{2x-y+1=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y + 1 = 0 } \\ { 2 x - y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x+y+1=0,2x-y+1=0$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x+y+1=0$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x+y=-1$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-y-1$$

ჩაანაცვლეთ -y-1-ით x მეორე განტოლებაში, 2x-y+1=0.

$$2\left(-y-1\right)-y+1=0$$

გაამრავლეთ 2-ზე -y-1.

$$-2y-2-y+1=0$$

მიუმატეთ -2y -y-ს.

$$-3y-2+1=0$$

მიუმატეთ -2 1-ს.

$$-3y-1=0$$

მიუმატეთ 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-3y=1$$

ორივე მხარე გაყავით -3-ზე.

$$y=-\frac{1}{3}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{1}{3}-ით y აქ: x=-y-1. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\left(-\frac{1}{3}\right)-1$$

გაამრავლეთ -1-ზე -\frac{1}{3}.

$$x=\frac{1}{3}-1$$

მიუმატეთ -1 \frac{1}{3}-ს.

$$x=-\frac{2}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{1}{3}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x+y+1=0,2x-y+1=0$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2}&-\frac{1}{-1-2}\\-\frac{2}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\left(-1\right)+\frac{1}{3}\left(-1\right)\\\frac{2}{3}\left(-1\right)-\frac{1}{3}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{1}{3}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x+y+1=0,2x-y+1=0$$

იმისათვის, რომ x და 2x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$2x+2y+2=0,2x-y+1=0$$

გამოაკელით 2x-y+1=0 2x+2y+2=0-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$2x-2x+2y+y+2-1=0$$

მიუმატეთ 2x -2x-ს. პირობები 2x და -2x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$2y+y+2-1=0$$

მიუმატეთ 2y y-ს.

$$3y+2-1=0$$

მიუმატეთ 2 -1-ს.

$$3y+1=0$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3y=-1$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$y=-\frac{1}{3}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{1}{3}-ით y აქ: 2x-y+1=0. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$2x-\left(-\frac{1}{3}\right)+1=0$$

მიუმატეთ \frac{1}{3} 1-ს.

$$2x+\frac{4}{3}=0$$

გამოაკელით \frac{4}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=-\frac{4}{3}$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=-\frac{2}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{1}{3}$$