გადაწყვიტეთ {l}{x+5y=5}{3x-2y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 5 y = 5 } \\ { 3 x - 2 y = 3 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{25}{17} = 1\frac{8}{17} \approx 1.470588235$$

$$y=\frac{12}{17}\approx 0.705882353$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x+5y=5,3x-2y=3$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x+5y=5$$

გამოაკელით 5y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-5y+5$$

ჩაანაცვლეთ -5y+5-ით x მეორე განტოლებაში, 3x-2y=3.

$$3\left(-5y+5\right)-2y=3$$

გაამრავლეთ 3-ზე -5y+5.

$$-15y+15-2y=3$$

მიუმატეთ -15y -2y-ს.

$$-17y+15=3$$

გამოაკელით 15 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-17y=-12$$

ორივე მხარე გაყავით -17-ზე.

$$y=\frac{12}{17}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{12}{17}-ით y აქ: x=-5y+5. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-5\times \frac{12}{17}+5$$

გაამრავლეთ -5-ზე \frac{12}{17}.

$$x=-\frac{60}{17}+5$$

მიუმატეთ 5 -\frac{60}{17}-ს.

$$x=\frac{25}{17}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{25}{17},y=\frac{12}{17}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x+5y=5,3x-2y=3$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-5\times 3}&-\frac{5}{-2-5\times 3}\\-\frac{3}{-2-5\times 3}&\frac{1}{-2-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}&\frac{5}{17}\\\frac{3}{17}&-\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}\times 5+\frac{5}{17}\times 3\\\frac{3}{17}\times 5-\frac{1}{17}\times 3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{17}\\\frac{12}{17}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{25}{17},y=\frac{12}{17}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x+5y=5,3x-2y=3$$

იმისათვის, რომ x და 3x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$3x+3\times 5y=3\times 5,3x-2y=3$$

გაამარტივეთ.

$$3x+15y=15,3x-2y=3$$

გამოაკელით 3x-2y=3 3x+15y=15-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$3x-3x+15y+2y=15-3$$

მიუმატეთ 3x -3x-ს. პირობები 3x და -3x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$15y+2y=15-3$$

მიუმატეთ 15y 2y-ს.

$$17y=15-3$$

მიუმატეთ 15 -3-ს.

$$17y=12$$

ორივე მხარე გაყავით 17-ზე.

$$y=\frac{12}{17}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{12}{17}-ით y აქ: 3x-2y=3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$3x-2\times \frac{12}{17}=3$$

გაამრავლეთ -2-ზე \frac{12}{17}.

$$3x-\frac{24}{17}=3$$

მიუმატეთ \frac{24}{17} განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=\frac{75}{17}$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{25}{17}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{25}{17},y=\frac{12}{17}$$