გადაწყვიტეთ {l}{x+3y=19}{3y+7=x+2y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 3 y = 19 } \\ { 3 y + 7 = x + 2 y } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=10$$

$$y=3$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$3y+7-x=2y$$

გამოაკელით 2y ორივე მხარეს.

$$3y+7-x-2y=0$$

დააჯგუფეთ 3y და -2y, რათა მიიღოთ y.

$$y+7-x=0$$

გამოაკელით 7 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$y-x=-7$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x+3y=19,-x+y=-7$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x+3y=19$$

გამოაკელით 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-3y+19$$

ჩაანაცვლეთ -3y+19-ით x მეორე განტოლებაში, -x+y=-7.

$$-\left(-3y+19\right)+y=-7$$

გაამრავლეთ -1-ზე -3y+19.

$$3y-19+y=-7$$

მიუმატეთ 3y y-ს.

$$4y-19=-7$$

მიუმატეთ 19 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4y=12$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$y=3$$

ჩაანაცვლეთ 3-ით y აქ: x=-3y+19. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-3\times 3+19$$

გაამრავლეთ -3-ზე 3.

$$x=-9+19$$

მიუმატეთ 19 -9-ს.

$$x=10$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=10,y=3$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$3y+7-x=2y$$

გამოაკელით 2y ორივე მხარეს.

$$3y+7-x-2y=0$$

დააჯგუფეთ 3y და -2y, რათა მიიღოთ y.

$$y+7-x=0$$

გამოაკელით 7 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$y-x=-7$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x+3y=19,-x+y=-7$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\-7\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&3\\-1&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\-7\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\-7\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\-7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3\left(-1\right)}&-\frac{3}{1-3\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{1-3\left(-1\right)}&\frac{1}{1-3\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\-7\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{3}{4}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\-7\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 19-\frac{3}{4}\left(-7\right)\\\frac{1}{4}\times 19+\frac{1}{4}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=10,y=3$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$3y+7-x=2y$$

გამოაკელით 2y ორივე მხარეს.

$$3y+7-x-2y=0$$

დააჯგუფეთ 3y და -2y, რათა მიიღოთ y.

$$y+7-x=0$$

გამოაკელით 7 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$y-x=-7$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x+3y=19,-x+y=-7$$

იმისათვის, რომ x და -x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$-x-3y=-19,-x+y=-7$$

გამოაკელით -x+y=-7 -x-3y=-19-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-x+x-3y-y=-19+7$$

მიუმატეთ -x x-ს. პირობები -x და x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-3y-y=-19+7$$

მიუმატეთ -3y -y-ს.

$$-4y=-19+7$$

მიუმატეთ -19 7-ს.

$$-4y=-12$$

ორივე მხარე გაყავით -4-ზე.

$$y=3$$

ჩაანაცვლეთ 3-ით y აქ: -x+y=-7. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-x+3=-7$$

გამოაკელით 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-x=-10$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$x=10$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=10,y=3$$