გადაწყვიტეთ {l}{x+2y=0}{5x+2y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 0 } \\ { 5 x + 2 y = 3 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=\frac{3}{4}=0.75$$

$$y=-\frac{3}{8}=-0.375$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x+2y=0,5x+2y=3$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x+2y=0$$

გამოაკელით 2y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-2y$$

ჩაანაცვლეთ -2y-ით x მეორე განტოლებაში, 5x+2y=3.

$$5\left(-2\right)y+2y=3$$

გაამრავლეთ 5-ზე -2y.

$$-10y+2y=3$$

მიუმატეთ -10y 2y-ს.

$$-8y=3$$

ორივე მხარე გაყავით -8-ზე.

$$y=-\frac{3}{8}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{3}{8}-ით y აქ: x=-2y. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-2\left(-\frac{3}{8}\right)$$

გაამრავლეთ -2-ზე -\frac{3}{8}.

$$x=\frac{3}{4}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{3}{4},y=-\frac{3}{8}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x+2y=0,5x+2y=3$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-2\times 5}&-\frac{2}{2-2\times 5}\\-\frac{5}{2-2\times 5}&\frac{1}{2-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{5}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 3\\-\frac{1}{8}\times 3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{3}{4},y=-\frac{3}{8}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x+2y=0,5x+2y=3$$

გამოაკელით 5x+2y=3 x+2y=0-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$x-5x+2y-2y=-3$$

მიუმატეთ 2y -2y-ს. პირობები 2y და -2y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$x-5x=-3$$

მიუმატეთ x -5x-ს.

$$-4x=-3$$

ორივე მხარე გაყავით -4-ზე.

$$x=\frac{3}{4}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{3}{4}-ით x აქ: 5x+2y=3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$5\times \frac{3}{4}+2y=3$$

გაამრავლეთ 5-ზე \frac{3}{4}.

$$\frac{15}{4}+2y=3$$

გამოაკელით \frac{15}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$2y=-\frac{3}{4}$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$y=-\frac{3}{8}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{3}{4},y=-\frac{3}{8}$$