გადაწყვიტეთ {l}{ty+2=x}{x^2+4y^2=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { t y + 2 = x } \\ { x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } = 4 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=2\text{, }y=0$$

$$x=\frac{2\left(4-t^{2}\right)}{t^{2}+4}\text{, }y=-\frac{4t}{t^{2}+4}$$

ეტაპები ჩანაცვლების და კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$ty+2-x=0$$

გამოაკელით 2 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$ty-x=-2$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$ty-x=-2,x^{2}+4y^{2}=4$$

ამოხსენით ty-x=-2 y-ისთვის, y-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$ty-x=-2$$

გამოაკელით -x განტოლების ორივე მხარეს.

$$ty=x-2$$

ორივე მხარე გაყავით t-ზე.

$$y=\frac{1}{t}x-\frac{2}{t}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{1}{t}x-\frac{2}{t}-ით y მეორე განტოლებაში, x^{2}+4y^{2}=4.

$$x^{2}+4\left(\frac{1}{t}x-\frac{2}{t}\right)^{2}=4$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{1}{t}x-\frac{2}{t}.

$$x^{2}+4\left(\left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}+2\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}\right)=4$$

გაამრავლეთ 4-ზე \left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}+2\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}.

$$x^{2}+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}+8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+4\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}=4$$

მიუმატეთ x^{2} 4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}-ს.

$$\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)x^{2}+8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+4\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}=4$$

გამოაკელით 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)x^{2}+8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+4\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}-4=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}-ით a, 4\times 2\times \frac{1}{t}\left(-\frac{2}{t}\right)-ით b და \frac{16}{t^{2}}-4-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\left(8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}\right)^{2}-4\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)\left(-4+\frac{16}{t^{2}}\right)}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში 4\times 2\times \frac{1}{t}\left(-\frac{2}{t}\right).

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\frac{256}{t^{4}}-4\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)\left(-4+\frac{16}{t^{2}}\right)}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\frac{256}{t^{4}}+\left(-4-\frac{16}{t^{2}}\right)\left(-4+\frac{16}{t^{2}}\right)}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

გაამრავლეთ -4-\frac{16}{t^{2}}-ზე \frac{16}{t^{2}}-4.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\frac{256}{t^{4}}+16-\frac{256}{t^{4}}}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

მიუმატეთ \frac{256}{t^{4}} -\frac{256}{t^{4}}+16-ს.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{16}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

აიღეთ 16-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±4}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}.

$$x=\frac{\frac{16}{t^{2}}±4}{2+\frac{8}{t^{2}}}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{\frac{16}{t^{2}}±4}{2+\frac{8}{t^{2}}} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ \frac{16}{t^{2}} 4-ს.

$$x=\frac{4+\frac{16}{t^{2}}}{2+\frac{8}{t^{2}}}$$

გაყავით 4+\frac{16}{t^{2}} 2+\frac{8}{t^{2}}-ზე.

$$x=2$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{\frac{16}{t^{2}}±4}{2+\frac{8}{t^{2}}} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 4 \frac{16}{t^{2}}-ს.

$$x=\frac{-4+\frac{16}{t^{2}}}{2+\frac{8}{t^{2}}}$$

გაყავით \frac{16}{t^{2}}-4 2+\frac{8}{t^{2}}-ზე.

$$x=-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}$$

არსებობს x-ის ორი ამონახსნი: 2 და -\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{4+t^{2}}. ჩაანაცვლეთ 2-ით x განტოლებაში y=\frac{1}{t}x-\frac{2}{t}, რათა იპოვოთ y-ის შესაბამისი ამონახსნი, რომელიც ორივე განტოლებას აკმაყოფილებს.

$$y=\frac{1}{t}\times 2-\frac{2}{t}$$

გაამრავლეთ \frac{1}{t}-ზე 2.

$$y=2\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t}$$

ახლა ჩაანაცვლეთ -\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{4+t^{2}}-ით x განტოლებაში y=\frac{1}{t}x-\frac{2}{t} და ამოხსენით, რათა იპოვოთ y-ის შესაბამისი ამონახსნი, რომელიც ორივე განტოლებას აკმაყოფილებს.

$$y=\frac{1}{t}\left(-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}\right)-\frac{2}{t}$$

გაამრავლეთ \frac{1}{t}-ზე -\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{4+t^{2}}.

$$y=\left(-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}\right)\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=2\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t},x=2\text{ or }y=\left(-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}\right)\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t},x=-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}$$

ამოხსნა x, y-ისთვის (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=2\text{, }y=0\text{, }&\text{unconditionally}\\x=\frac{2\left(4-t^{2}\right)}{t^{2}+4}\text{, }y=-\frac{4t}{t^{2}+4}\text{, }&t\neq -2i\text{ and }t\neq 2i\end{matrix}\right.$$