გადაწყვიტეთ {l}{a-b+2=0}{9a+3b+2=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { a - b + 2 = 0 } \\ { 9 a + 3 b + 2 = - 2 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა a, b-ისთვის

$$a=-\frac{5}{6}\approx -0.833333333$$

$$b = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6} \approx 1.166666667$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$a-b+2=0,9a+3b+2=-2$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი a-ისთვის, a-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$a-b+2=0$$

გამოაკელით 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$a-b=-2$$

მიუმატეთ b განტოლების ორივე მხარეს.

$$a=b-2$$

ჩაანაცვლეთ b-2-ით a მეორე განტოლებაში, 9a+3b+2=-2.

$$9\left(b-2\right)+3b+2=-2$$

გაამრავლეთ 9-ზე b-2.

$$9b-18+3b+2=-2$$

მიუმატეთ 9b 3b-ს.

$$12b-18+2=-2$$

მიუმატეთ -18 2-ს.

$$12b-16=-2$$

მიუმატეთ 16 განტოლების ორივე მხარეს.

$$12b=14$$

ორივე მხარე გაყავით 12-ზე.

$$b=\frac{7}{6}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{7}{6}-ით b აქ: a=b-2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ a.

$$a=\frac{7}{6}-2$$

მიუმატეთ -2 \frac{7}{6}-ს.

$$a=-\frac{5}{6}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$a=-\frac{5}{6},b=\frac{7}{6}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$a-b+2=0,9a+3b+2=-2$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\9&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&-1\\9&3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\9&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\9&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\9&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\9&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\9&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-9\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-9\right)}\\-\frac{9}{3-\left(-9\right)}&\frac{1}{3-\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{12}\\-\frac{3}{4}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-2\right)+\frac{1}{12}\left(-4\right)\\-\frac{3}{4}\left(-2\right)+\frac{1}{12}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{6}\\\frac{7}{6}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - a და b.

$$a=-\frac{5}{6},b=\frac{7}{6}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$a-b+2=0,9a+3b+2=-2$$

იმისათვის, რომ a და 9a ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 9-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$9a+9\left(-1\right)b+9\times 2=0,9a+3b+2=-2$$

გაამარტივეთ.

$$9a-9b+18=0,9a+3b+2=-2$$

გამოაკელით 9a+3b+2=-2 9a-9b+18=0-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$9a-9a-9b-3b+18-2=2$$

მიუმატეთ 9a -9a-ს. პირობები 9a და -9a გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-9b-3b+18-2=2$$

მიუმატეთ -9b -3b-ს.

$$-12b+18-2=2$$

მიუმატეთ 18 -2-ს.

$$-12b+16=2$$

გამოაკელით 16 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-12b=-14$$

ორივე მხარე გაყავით -12-ზე.

$$b=\frac{7}{6}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{7}{6}-ით b აქ: 9a+3b+2=-2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ a.

$$9a+3\times \frac{7}{6}+2=-2$$

გაამრავლეთ 3-ზე \frac{7}{6}.

$$9a+\frac{7}{2}+2=-2$$

მიუმატეთ \frac{7}{2} 2-ს.

$$9a+\frac{11}{2}=-2$$

გამოაკელით \frac{11}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$9a=-\frac{15}{2}$$

ორივე მხარე გაყავით 9-ზე.

$$a=-\frac{5}{6}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$a=-\frac{5}{6},b=\frac{7}{6}$$