გადაწყვიტეთ {l}{a+b=130}{-1.85a+1.4b=74}

$$\left\{ \begin{array} { l } { a + b = 130 } \\ { - 1.85 a + 1.4 b = 74 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა a, b-ისთვის

$$a = \frac{432}{13} = 33\frac{3}{13} \approx 33.230769231$$

$$b = \frac{1258}{13} = 96\frac{10}{13} \approx 96.769230769$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$a+b=130,-1.85a+1.4b=74$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი a-ისთვის, a-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$a+b=130$$

გამოაკელით b განტოლების ორივე მხარეს.

$$a=-b+130$$

ჩაანაცვლეთ -b+130-ით a მეორე განტოლებაში, -1.85a+1.4b=74.

$$-1.85\left(-b+130\right)+1.4b=74$$

გაამრავლეთ -1.85-ზე -b+130.

$$1.85b-240.5+1.4b=74$$

მიუმატეთ \frac{37b}{20} \frac{7b}{5}-ს.

$$3.25b-240.5=74$$

მიუმატეთ 240.5 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3.25b=314.5$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით 3.25-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$b=\frac{1258}{13}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{1258}{13}-ით b აქ: a=-b+130. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ a.

$$a=-\frac{1258}{13}+130$$

მიუმატეთ 130 -\frac{1258}{13}-ს.

$$a=\frac{432}{13}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$a=\frac{432}{13},b=\frac{1258}{13}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$a+b=130,-1.85a+1.4b=74$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-1.85&1.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}130\\74\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&1\\-1.85&1.4\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1.85&1.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-1.85&1.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1.85&1.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\74\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1.85&1.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\74\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1.85&1.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\74\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1.4}{1.4-\left(-1.85\right)}&-\frac{1}{1.4-\left(-1.85\right)}\\-\frac{-1.85}{1.4-\left(-1.85\right)}&\frac{1}{1.4-\left(-1.85\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\74\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{28}{65}&-\frac{4}{13}\\\frac{37}{65}&\frac{4}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\74\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{28}{65}\times 130-\frac{4}{13}\times 74\\\frac{37}{65}\times 130+\frac{4}{13}\times 74\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{432}{13}\\\frac{1258}{13}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - a და b.

$$a=\frac{432}{13},b=\frac{1258}{13}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$a+b=130,-1.85a+1.4b=74$$

იმისათვის, რომ a და -\frac{37a}{20} ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -1.85-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$-1.85a-1.85b=-1.85\times 130,-1.85a+1.4b=74$$

გაამარტივეთ.

$$-1.85a-1.85b=-240.5,-1.85a+1.4b=74$$

გამოაკელით -1.85a+1.4b=74 -1.85a-1.85b=-240.5-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-1.85a+1.85a-1.85b-1.4b=-240.5-74$$

მიუმატეთ -\frac{37a}{20} \frac{37a}{20}-ს. პირობები -\frac{37a}{20} და \frac{37a}{20} გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-1.85b-1.4b=-240.5-74$$

მიუმატეთ -\frac{37b}{20} -\frac{7b}{5}-ს.

$$-3.25b=-240.5-74$$

მიუმატეთ -240.5 -74-ს.

$$-3.25b=-314.5$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -3.25-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$b=\frac{1258}{13}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{1258}{13}-ით b აქ: -1.85a+1.4b=74. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ a.

$$-1.85a+1.4\times \frac{1258}{13}=74$$

გაამრავლეთ 1.4-ზე \frac{1258}{13} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$-1.85a+\frac{8806}{65}=74$$

გამოაკელით \frac{8806}{65} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-1.85a=-\frac{3996}{65}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -1.85-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$a=\frac{432}{13}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$a=\frac{432}{13},b=\frac{1258}{13}$$