გადაწყვიტეთ {l}{a+4b=8}{3b=5-a}

$$\left\{ \begin{array} { l } { a + 4 b = 8 } \\ { 3 b = 5 - a } \end{array} \right.$$

ამოხსნა a, b-ისთვის

$$a=-4$$

$$b=3$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ a ორივე მხარეს.

$$3b+a=5$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$a+4b=8,a+3b=5$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი a-ისთვის, a-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$a+4b=8$$

გამოაკელით 4b განტოლების ორივე მხარეს.

$$a=-4b+8$$

ჩაანაცვლეთ -4b+8-ით a მეორე განტოლებაში, a+3b=5.

$$-4b+8+3b=5$$

მიუმატეთ -4b 3b-ს.

$$-b+8=5$$

გამოაკელით 8 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-b=-3$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$b=3$$

ჩაანაცვლეთ 3-ით b აქ: a=-4b+8. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ a.

$$a=-4\times 3+8$$

გაამრავლეთ -4-ზე 3.

$$a=-12+8$$

მიუმატეთ 8 -12-ს.

$$a=-4$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$a=-4,b=3$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ a ორივე მხარეს.

$$3b+a=5$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$a+4b=8,a+3b=5$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&4\\1&3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-4}&-\frac{4}{3-4}\\-\frac{1}{3-4}&\frac{1}{3-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&4\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 8+4\times 5\\8-5\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - a და b.

$$a=-4,b=3$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ a ორივე მხარეს.

$$3b+a=5$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$a+4b=8,a+3b=5$$

გამოაკელით a+3b=5 a+4b=8-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$a-a+4b-3b=8-5$$

მიუმატეთ a -a-ს. პირობები a და -a გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$4b-3b=8-5$$

მიუმატეთ 4b -3b-ს.

$$b=8-5$$

მიუმატეთ 8 -5-ს.

$$b=3$$

ჩაანაცვლეთ 3-ით b აქ: a+3b=5. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ a.

$$a+3\times 3=5$$

გაამრავლეთ 3-ზე 3.

$$a+9=5$$

გამოაკელით 9 განტოლების ორივე მხარეს.

$$a=-4$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$a=-4,b=3$$