გადაწყვიტეთ {l}{a+3b=6}{a-6b=12}

$$\left\{ \begin{array} { l } { a + 3 b = 6 } \\ { a - 6 b = 12 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა a, b-ისთვის

$$a=8$$

$$b=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$a+3b=6,a-6b=12$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი a-ისთვის, a-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$a+3b=6$$

გამოაკელით 3b განტოლების ორივე მხარეს.

$$a=-3b+6$$

ჩაანაცვლეთ -3b+6-ით a მეორე განტოლებაში, a-6b=12.

$$-3b+6-6b=12$$

მიუმატეთ -3b -6b-ს.

$$-9b+6=12$$

გამოაკელით 6 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-9b=6$$

ორივე მხარე გაყავით -9-ზე.

$$b=-\frac{2}{3}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{2}{3}-ით b აქ: a=-3b+6. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ a.

$$a=-3\left(-\frac{2}{3}\right)+6$$

გაამრავლეთ -3-ზე -\frac{2}{3}.

$$a=2+6$$

მიუმატეთ 6 2-ს.

$$a=8$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$a=8,b=-\frac{2}{3}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$a+3b=6,a-6b=12$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\1&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&3\\1&-6\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\1&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-6-3}&-\frac{3}{-6-3}\\-\frac{1}{-6-3}&\frac{1}{-6-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 6+\frac{1}{3}\times 12\\\frac{1}{9}\times 6-\frac{1}{9}\times 12\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - a და b.

$$a=8,b=-\frac{2}{3}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$a+3b=6,a-6b=12$$

გამოაკელით a-6b=12 a+3b=6-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$a-a+3b+6b=6-12$$

მიუმატეთ a -a-ს. პირობები a და -a გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$3b+6b=6-12$$

მიუმატეთ 3b 6b-ს.

$$9b=6-12$$

მიუმატეთ 6 -12-ს.

$$9b=-6$$

ორივე მხარე გაყავით 9-ზე.

$$b=-\frac{2}{3}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{2}{3}-ით b აქ: a-6b=12. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ a.

$$a-6\left(-\frac{2}{3}\right)=12$$

გაამრავლეთ -6-ზე -\frac{2}{3}.

$$a+4=12$$

გამოაკელით 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$a=8$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$a=8,b=-\frac{2}{3}$$