გადაწყვიტეთ {l}{a+19=15b}{a+19=1/2(b+19)+85}

$$\left\{ \begin{array} { l } { a + 19 = 15 b } \\ { a + 19 = \frac { 1 } { 2 } ( b + 19 ) + 85 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა a, b-ისთვის

$$a = \frac{2284}{29} = 78\frac{22}{29} \approx 78.75862069$$

$$b = \frac{189}{29} = 6\frac{15}{29} \approx 6.517241379$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 15b ორივე მხარეს.

$$a+19-15b=0$$

გამოაკელით 19 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$a-15b=-19$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ \frac{1}{2} b+19-ზე.

$$a+19=\frac{1}{2}b+\frac{19}{2}+85$$

შეკრიბეთ \frac{19}{2} და 85, რათა მიიღოთ \frac{189}{2}.

$$a+19=\frac{1}{2}b+\frac{189}{2}$$

გამოაკელით \frac{1}{2}b ორივე მხარეს.

$$a+19-\frac{1}{2}b=\frac{189}{2}$$

გამოაკელით 19 ორივე მხარეს.

$$a-\frac{1}{2}b=\frac{189}{2}-19$$

გამოაკელით 19 \frac{189}{2}-ს \frac{151}{2}-ის მისაღებად.

$$a-\frac{1}{2}b=\frac{151}{2}$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$a-15b=-19,a-\frac{1}{2}b=\frac{151}{2}$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი a-ისთვის, a-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$a-15b=-19$$

მიუმატეთ 15b განტოლების ორივე მხარეს.

$$a=15b-19$$

ჩაანაცვლეთ 15b-19-ით a მეორე განტოლებაში, a-\frac{1}{2}b=\frac{151}{2}.

$$15b-19-\frac{1}{2}b=\frac{151}{2}$$

მიუმატეთ 15b -\frac{b}{2}-ს.

$$\frac{29}{2}b-19=\frac{151}{2}$$

მიუმატეთ 19 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{29}{2}b=\frac{189}{2}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{29}{2}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$b=\frac{189}{29}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{189}{29}-ით b აქ: a=15b-19. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ a.

$$a=15\times \frac{189}{29}-19$$

გაამრავლეთ 15-ზე \frac{189}{29}.

$$a=\frac{2835}{29}-19$$

მიუმატეთ -19 \frac{2835}{29}-ს.

$$a=\frac{2284}{29}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$a=\frac{2284}{29},b=\frac{189}{29}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 15b ორივე მხარეს.

$$a+19-15b=0$$

გამოაკელით 19 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$a-15b=-19$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ \frac{1}{2} b+19-ზე.

$$a+19=\frac{1}{2}b+\frac{19}{2}+85$$

შეკრიბეთ \frac{19}{2} და 85, რათა მიიღოთ \frac{189}{2}.

$$a+19=\frac{1}{2}b+\frac{189}{2}$$

გამოაკელით \frac{1}{2}b ორივე მხარეს.

$$a+19-\frac{1}{2}b=\frac{189}{2}$$

გამოაკელით 19 ორივე მხარეს.

$$a-\frac{1}{2}b=\frac{189}{2}-19$$

გამოაკელით 19 \frac{189}{2}-ს \frac{151}{2}-ის მისაღებად.

$$a-\frac{1}{2}b=\frac{151}{2}$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$a-15b=-19,a-\frac{1}{2}b=\frac{151}{2}$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&-15\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-19\\\frac{151}{2}\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&-15\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-15\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-15\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-15\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\\frac{151}{2}\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-15\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\\frac{151}{2}\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-15\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\\frac{151}{2}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}-\left(-15\right)}&-\frac{-15}{-\frac{1}{2}-\left(-15\right)}\\-\frac{1}{-\frac{1}{2}-\left(-15\right)}&\frac{1}{-\frac{1}{2}-\left(-15\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-19\\\frac{151}{2}\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{29}&\frac{30}{29}\\-\frac{2}{29}&\frac{2}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-19\\\frac{151}{2}\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{29}\left(-19\right)+\frac{30}{29}\times \frac{151}{2}\\-\frac{2}{29}\left(-19\right)+\frac{2}{29}\times \frac{151}{2}\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2284}{29}\\\frac{189}{29}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - a და b.

$$a=\frac{2284}{29},b=\frac{189}{29}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 15b ორივე მხარეს.

$$a+19-15b=0$$

გამოაკელით 19 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$a-15b=-19$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ \frac{1}{2} b+19-ზე.

$$a+19=\frac{1}{2}b+\frac{19}{2}+85$$

შეკრიბეთ \frac{19}{2} და 85, რათა მიიღოთ \frac{189}{2}.

$$a+19=\frac{1}{2}b+\frac{189}{2}$$

გამოაკელით \frac{1}{2}b ორივე მხარეს.

$$a+19-\frac{1}{2}b=\frac{189}{2}$$

გამოაკელით 19 ორივე მხარეს.

$$a-\frac{1}{2}b=\frac{189}{2}-19$$

გამოაკელით 19 \frac{189}{2}-ს \frac{151}{2}-ის მისაღებად.

$$a-\frac{1}{2}b=\frac{151}{2}$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$a-15b=-19,a-\frac{1}{2}b=\frac{151}{2}$$

გამოაკელით a-\frac{1}{2}b=\frac{151}{2} a-15b=-19-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$a-a-15b+\frac{1}{2}b=-19-\frac{151}{2}$$

მიუმატეთ a -a-ს. პირობები a და -a გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-15b+\frac{1}{2}b=-19-\frac{151}{2}$$

მიუმატეთ -15b \frac{b}{2}-ს.

$$-\frac{29}{2}b=-19-\frac{151}{2}$$

მიუმატეთ -19 -\frac{151}{2}-ს.

$$-\frac{29}{2}b=-\frac{189}{2}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{29}{2}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$b=\frac{189}{29}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{189}{29}-ით b აქ: a-\frac{1}{2}b=\frac{151}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ a.

$$a-\frac{1}{2}\times \frac{189}{29}=\frac{151}{2}$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{2}-ზე \frac{189}{29} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$a-\frac{189}{58}=\frac{151}{2}$$

მიუმატეთ \frac{189}{58} განტოლების ორივე მხარეს.

$$a=\frac{2284}{29}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$a=\frac{2284}{29},b=\frac{189}{29}$$