გადაწყვიტეთ {l}{9m-13n=22}{2m+3n=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 9 m - 13 n = 22 } \\ { 2 m + 3 n = - 1 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა m, n-ისთვის

$$m=1$$

$$n=-1$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$9m-13n=22,2m+3n=-1$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი m-ისთვის, m-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$9m-13n=22$$

მიუმატეთ 13n განტოლების ორივე მხარეს.

$$9m=13n+22$$

ორივე მხარე გაყავით 9-ზე.

$$m=\frac{1}{9}\left(13n+22\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{9}-ზე 13n+22.

$$m=\frac{13}{9}n+\frac{22}{9}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{13n+22}{9}-ით m მეორე განტოლებაში, 2m+3n=-1.

$$2\left(\frac{13}{9}n+\frac{22}{9}\right)+3n=-1$$

გაამრავლეთ 2-ზე \frac{13n+22}{9}.

$$\frac{26}{9}n+\frac{44}{9}+3n=-1$$

მიუმატეთ \frac{26n}{9} 3n-ს.

$$\frac{53}{9}n+\frac{44}{9}=-1$$

გამოაკელით \frac{44}{9} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{53}{9}n=-\frac{53}{9}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{53}{9}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$n=-1$$

ჩაანაცვლეთ -1-ით n აქ: m=\frac{13}{9}n+\frac{22}{9}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ m.

$$m=\frac{13}{9}\left(-1\right)+\frac{22}{9}$$

გაამრავლეთ \frac{13}{9}-ზე -1.

$$m=\frac{-13+22}{9}$$

მიუმატეთ \frac{22}{9} -\frac{13}{9}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$m=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$m=1,n=-1$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$9m-13n=22,2m+3n=-1$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}&-\frac{-13}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}\\-\frac{2}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}&\frac{9}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{53}&\frac{13}{53}\\-\frac{2}{53}&\frac{9}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{53}\times 22+\frac{13}{53}\left(-1\right)\\-\frac{2}{53}\times 22+\frac{9}{53}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - m და n.

$$m=1,n=-1$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$9m-13n=22,2m+3n=-1$$

იმისათვის, რომ 9m და 2m ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 9-ზე.

$$2\times 9m+2\left(-13\right)n=2\times 22,9\times 2m+9\times 3n=9\left(-1\right)$$

გაამარტივეთ.

$$18m-26n=44,18m+27n=-9$$

გამოაკელით 18m+27n=-9 18m-26n=44-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$18m-18m-26n-27n=44+9$$

მიუმატეთ 18m -18m-ს. პირობები 18m და -18m გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-26n-27n=44+9$$

მიუმატეთ -26n -27n-ს.

$$-53n=44+9$$

მიუმატეთ 44 9-ს.

$$-53n=53$$

ორივე მხარე გაყავით -53-ზე.

$$n=-1$$

ჩაანაცვლეთ -1-ით n აქ: 2m+3n=-1. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ m.

$$2m+3\left(-1\right)=-1$$

გაამრავლეთ 3-ზე -1.

$$2m-3=-1$$

მიუმატეთ 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2m=2$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$m=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$m=1,n=-1$$