გადაწყვიტეთ {l}{8x+y=32}{4x+3y=18}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 x + y = 32 } \\ { 4 x + 3 y = 18 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{39}{10} = 3\frac{9}{10} = 3.9$$

$$y=\frac{4}{5}=0.8$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$8x+y=32,4x+3y=18$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$8x+y=32$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$8x=-y+32$$

ორივე მხარე გაყავით 8-ზე.

$$x=\frac{1}{8}\left(-y+32\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{8}-ზე -y+32.

$$x=-\frac{1}{8}y+4$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{y}{8}+4-ით x მეორე განტოლებაში, 4x+3y=18.

$$4\left(-\frac{1}{8}y+4\right)+3y=18$$

გაამრავლეთ 4-ზე -\frac{y}{8}+4.

$$-\frac{1}{2}y+16+3y=18$$

მიუმატეთ -\frac{y}{2} 3y-ს.

$$\frac{5}{2}y+16=18$$

გამოაკელით 16 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{5}{2}y=2$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{5}{2}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{4}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{4}{5}-ით y აქ: x=-\frac{1}{8}y+4. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{1}{8}\times \frac{4}{5}+4$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{8}-ზე \frac{4}{5} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{1}{10}+4$$

მიუმატეთ 4 -\frac{1}{10}-ს.

$$x=\frac{39}{10}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{39}{10},y=\frac{4}{5}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$8x+y=32,4x+3y=18$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}8&1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\18\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}8&1\\4&3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\18\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\18\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\18\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-4}&-\frac{1}{8\times 3-4}\\-\frac{4}{8\times 3-4}&\frac{8}{8\times 3-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\18\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}&-\frac{1}{20}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\18\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}\times 32-\frac{1}{20}\times 18\\-\frac{1}{5}\times 32+\frac{2}{5}\times 18\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{39}{10}\\\frac{4}{5}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{39}{10},y=\frac{4}{5}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$8x+y=32,4x+3y=18$$

იმისათვის, რომ 8x და 4x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 8-ზე.

$$4\times 8x+4y=4\times 32,8\times 4x+8\times 3y=8\times 18$$

გაამარტივეთ.

$$32x+4y=128,32x+24y=144$$

გამოაკელით 32x+24y=144 32x+4y=128-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$32x-32x+4y-24y=128-144$$

მიუმატეთ 32x -32x-ს. პირობები 32x და -32x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$4y-24y=128-144$$

მიუმატეთ 4y -24y-ს.

$$-20y=128-144$$

მიუმატეთ 128 -144-ს.

$$-20y=-16$$

ორივე მხარე გაყავით -20-ზე.

$$y=\frac{4}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{4}{5}-ით y აქ: 4x+3y=18. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$4x+3\times \frac{4}{5}=18$$

გაამრავლეთ 3-ზე \frac{4}{5}.

$$4x+\frac{12}{5}=18$$

გამოაკელით \frac{12}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=\frac{78}{5}$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=\frac{39}{10}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{39}{10},y=\frac{4}{5}$$