გადაწყვიტეთ {l}{8m-6n=-28}{4m+3n=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 m - 6 n = - 28 } \\ { 4 m + 3 n = - 2 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა m, n-ისთვის

$$m=-2$$

$$n=2$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$8m-6n=-28,4m+3n=-2$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი m-ისთვის, m-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$8m-6n=-28$$

მიუმატეთ 6n განტოლების ორივე მხარეს.

$$8m=6n-28$$

ორივე მხარე გაყავით 8-ზე.

$$m=\frac{1}{8}\left(6n-28\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{8}-ზე 6n-28.

$$m=\frac{3}{4}n-\frac{7}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{3n}{4}-\frac{7}{2}-ით m მეორე განტოლებაში, 4m+3n=-2.

$$4\left(\frac{3}{4}n-\frac{7}{2}\right)+3n=-2$$

გაამრავლეთ 4-ზე \frac{3n}{4}-\frac{7}{2}.

$$3n-14+3n=-2$$

მიუმატეთ 3n 3n-ს.

$$6n-14=-2$$

მიუმატეთ 14 განტოლების ორივე მხარეს.

$$6n=12$$

ორივე მხარე გაყავით 6-ზე.

$$n=2$$

ჩაანაცვლეთ 2-ით n აქ: m=\frac{3}{4}n-\frac{7}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ m.

$$m=\frac{3}{4}\times 2-\frac{7}{2}$$

გაამრავლეთ \frac{3}{4}-ზე 2.

$$m=\frac{3-7}{2}$$

მიუმატეთ -\frac{7}{2} \frac{3}{2}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$m=-2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$m=-2,n=2$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$8m-6n=-28,4m+3n=-2$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}8&-6\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-28\\-2\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}8&-6\\4&3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-6\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-6\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-6\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-28\\-2\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-6\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-28\\-2\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-6\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-28\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-\left(-6\times 4\right)}&-\frac{-6}{8\times 3-\left(-6\times 4\right)}\\-\frac{4}{8\times 3-\left(-6\times 4\right)}&\frac{8}{8\times 3-\left(-6\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-28\\-2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16}&\frac{1}{8}\\-\frac{1}{12}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-28\\-2\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16}\left(-28\right)+\frac{1}{8}\left(-2\right)\\-\frac{1}{12}\left(-28\right)+\frac{1}{6}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - m და n.

$$m=-2,n=2$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$8m-6n=-28,4m+3n=-2$$

იმისათვის, რომ 8m და 4m ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 8-ზე.

$$4\times 8m+4\left(-6\right)n=4\left(-28\right),8\times 4m+8\times 3n=8\left(-2\right)$$

გაამარტივეთ.

$$32m-24n=-112,32m+24n=-16$$

გამოაკელით 32m+24n=-16 32m-24n=-112-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$32m-32m-24n-24n=-112+16$$

მიუმატეთ 32m -32m-ს. პირობები 32m და -32m გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-24n-24n=-112+16$$

მიუმატეთ -24n -24n-ს.

$$-48n=-112+16$$

მიუმატეთ -112 16-ს.

$$-48n=-96$$

ორივე მხარე გაყავით -48-ზე.

$$n=2$$

ჩაანაცვლეთ 2-ით n აქ: 4m+3n=-2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ m.

$$4m+3\times 2=-2$$

გაამრავლეთ 3-ზე 2.

$$4m+6=-2$$

გამოაკელით 6 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4m=-8$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$m=-2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$m=-2,n=2$$