გადაწყვიტეთ {l}{8k+a=3650}{15k+a=150}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 k + a = 3650 } \\ { 15 k + a = 150 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა k, a-ისთვის

$$k=-500$$

$$a=7650$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$8k+a=3650,15k+a=150$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი k-ისთვის, k-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$8k+a=3650$$

გამოაკელით a განტოლების ორივე მხარეს.

$$8k=-a+3650$$

ორივე მხარე გაყავით 8-ზე.

$$k=\frac{1}{8}\left(-a+3650\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{8}-ზე -a+3650.

$$k=-\frac{1}{8}a+\frac{1825}{4}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{a}{8}+\frac{1825}{4}-ით k მეორე განტოლებაში, 15k+a=150.

$$15\left(-\frac{1}{8}a+\frac{1825}{4}\right)+a=150$$

გაამრავლეთ 15-ზე -\frac{a}{8}+\frac{1825}{4}.

$$-\frac{15}{8}a+\frac{27375}{4}+a=150$$

მიუმატეთ -\frac{15a}{8} a-ს.

$$-\frac{7}{8}a+\frac{27375}{4}=150$$

გამოაკელით \frac{27375}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{7}{8}a=-\frac{26775}{4}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{7}{8}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$a=7650$$

ჩაანაცვლეთ 7650-ით a აქ: k=-\frac{1}{8}a+\frac{1825}{4}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ k.

$$k=-\frac{1}{8}\times 7650+\frac{1825}{4}$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{8}-ზე 7650.

$$k=\frac{-3825+1825}{4}$$

მიუმატეთ \frac{1825}{4} -\frac{3825}{4}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$k=-500$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$k=-500,a=7650$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$8k+a=3650,15k+a=150$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8-15}&-\frac{1}{8-15}\\-\frac{15}{8-15}&\frac{8}{8-15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\\frac{15}{7}&-\frac{8}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 3650+\frac{1}{7}\times 150\\\frac{15}{7}\times 3650-\frac{8}{7}\times 150\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-500\\7650\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - k და a.

$$k=-500,a=7650$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$8k+a=3650,15k+a=150$$

გამოაკელით 15k+a=150 8k+a=3650-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$8k-15k+a-a=3650-150$$

მიუმატეთ a -a-ს. პირობები a და -a გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$8k-15k=3650-150$$

მიუმატეთ 8k -15k-ს.

$$-7k=3650-150$$

მიუმატეთ 3650 -150-ს.

$$-7k=3500$$

ორივე მხარე გაყავით -7-ზე.

$$k=-500$$

ჩაანაცვლეთ -500-ით k აქ: 15k+a=150. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ a.

$$15\left(-500\right)+a=150$$

გაამრავლეთ 15-ზე -500.

$$-7500+a=150$$

მიუმატეთ 7500 განტოლების ორივე მხარეს.

$$a=7650$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$k=-500,a=7650$$