გადაწყვიტეთ {l}{7x-y=-6}{4x+3y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x - y = - 6 } \\ { 4 x + 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-\frac{3}{5}=-0.6$$

$$y = \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5} = 1.8$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$7x-y=-6,4x+3y=3$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$7x-y=-6$$

მიუმატეთ y განტოლების ორივე მხარეს.

$$7x=y-6$$

ორივე მხარე გაყავით 7-ზე.

$$x=\frac{1}{7}\left(y-6\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{7}-ზე y-6.

$$x=\frac{1}{7}y-\frac{6}{7}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-6+y}{7}-ით x მეორე განტოლებაში, 4x+3y=3.

$$4\left(\frac{1}{7}y-\frac{6}{7}\right)+3y=3$$

გაამრავლეთ 4-ზე \frac{-6+y}{7}.

$$\frac{4}{7}y-\frac{24}{7}+3y=3$$

მიუმატეთ \frac{4y}{7} 3y-ს.

$$\frac{25}{7}y-\frac{24}{7}=3$$

მიუმატეთ \frac{24}{7} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{25}{7}y=\frac{45}{7}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{25}{7}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{9}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{9}{5}-ით y აქ: x=\frac{1}{7}y-\frac{6}{7}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{1}{7}\times \frac{9}{5}-\frac{6}{7}$$

გაამრავლეთ \frac{1}{7}-ზე \frac{9}{5} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=\frac{9}{35}-\frac{6}{7}$$

მიუმატეთ -\frac{6}{7} \frac{9}{35}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=-\frac{3}{5}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{3}{5},y=\frac{9}{5}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$7x-y=-6,4x+3y=3$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}7&-1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}7&-1\\4&3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7\times 3-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{7\times 3-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{7\times 3-\left(-4\right)}&\frac{7}{7\times 3-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}&\frac{1}{25}\\-\frac{4}{25}&\frac{7}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}\left(-6\right)+\frac{1}{25}\times 3\\-\frac{4}{25}\left(-6\right)+\frac{7}{25}\times 3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}\\\frac{9}{5}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-\frac{3}{5},y=\frac{9}{5}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$7x-y=-6,4x+3y=3$$

იმისათვის, რომ 7x და 4x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 7-ზე.

$$4\times 7x+4\left(-1\right)y=4\left(-6\right),7\times 4x+7\times 3y=7\times 3$$

გაამარტივეთ.

$$28x-4y=-24,28x+21y=21$$

გამოაკელით 28x+21y=21 28x-4y=-24-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$28x-28x-4y-21y=-24-21$$

მიუმატეთ 28x -28x-ს. პირობები 28x და -28x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-4y-21y=-24-21$$

მიუმატეთ -4y -21y-ს.

$$-25y=-24-21$$

მიუმატეთ -24 -21-ს.

$$-25y=-45$$

ორივე მხარე გაყავით -25-ზე.

$$y=\frac{9}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{9}{5}-ით y აქ: 4x+3y=3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$4x+3\times \frac{9}{5}=3$$

გაამრავლეთ 3-ზე \frac{9}{5}.

$$4x+\frac{27}{5}=3$$

გამოაკელით \frac{27}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=-\frac{12}{5}$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=-\frac{3}{5}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{3}{5},y=\frac{9}{5}$$