გადაწყვიტეთ {l}{7x-8y=9}{4x-13y=-10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x - 8 y = 9 } \\ { 4 x - 13 y = - 10 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{197}{59} = 3\frac{20}{59} \approx 3.338983051$$

$$y = \frac{106}{59} = 1\frac{47}{59} \approx 1.796610169$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$7x-8y=9,4x-13y=-10$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$7x-8y=9$$

მიუმატეთ 8y განტოლების ორივე მხარეს.

$$7x=8y+9$$

ორივე მხარე გაყავით 7-ზე.

$$x=\frac{1}{7}\left(8y+9\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{7}-ზე 8y+9.

$$x=\frac{8}{7}y+\frac{9}{7}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{8y+9}{7}-ით x მეორე განტოლებაში, 4x-13y=-10.

$$4\left(\frac{8}{7}y+\frac{9}{7}\right)-13y=-10$$

გაამრავლეთ 4-ზე \frac{8y+9}{7}.

$$\frac{32}{7}y+\frac{36}{7}-13y=-10$$

მიუმატეთ \frac{32y}{7} -13y-ს.

$$-\frac{59}{7}y+\frac{36}{7}=-10$$

გამოაკელით \frac{36}{7} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{59}{7}y=-\frac{106}{7}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{59}{7}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{106}{59}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{106}{59}-ით y აქ: x=\frac{8}{7}y+\frac{9}{7}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{8}{7}\times \frac{106}{59}+\frac{9}{7}$$

გაამრავლეთ \frac{8}{7}-ზე \frac{106}{59} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=\frac{848}{413}+\frac{9}{7}$$

მიუმატეთ \frac{9}{7} \frac{848}{413}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{197}{59}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{197}{59},y=\frac{106}{59}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$7x-8y=9,4x-13y=-10$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{7\left(-13\right)-\left(-8\times 4\right)}&-\frac{-8}{7\left(-13\right)-\left(-8\times 4\right)}\\-\frac{4}{7\left(-13\right)-\left(-8\times 4\right)}&\frac{7}{7\left(-13\right)-\left(-8\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{59}&-\frac{8}{59}\\\frac{4}{59}&-\frac{7}{59}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{59}\times 9-\frac{8}{59}\left(-10\right)\\\frac{4}{59}\times 9-\frac{7}{59}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{197}{59}\\\frac{106}{59}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{197}{59},y=\frac{106}{59}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$7x-8y=9,4x-13y=-10$$

იმისათვის, რომ 7x და 4x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 7-ზე.

$$4\times 7x+4\left(-8\right)y=4\times 9,7\times 4x+7\left(-13\right)y=7\left(-10\right)$$

გაამარტივეთ.

$$28x-32y=36,28x-91y=-70$$

გამოაკელით 28x-91y=-70 28x-32y=36-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$28x-28x-32y+91y=36+70$$

მიუმატეთ 28x -28x-ს. პირობები 28x და -28x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-32y+91y=36+70$$

მიუმატეთ -32y 91y-ს.

$$59y=36+70$$

მიუმატეთ 36 70-ს.

$$59y=106$$

ორივე მხარე გაყავით 59-ზე.

$$y=\frac{106}{59}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{106}{59}-ით y აქ: 4x-13y=-10. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$4x-13\times \frac{106}{59}=-10$$

გაამრავლეთ -13-ზე \frac{106}{59}.

$$4x-\frac{1378}{59}=-10$$

მიუმატეთ \frac{1378}{59} განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=\frac{788}{59}$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=\frac{197}{59}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{197}{59},y=\frac{106}{59}$$