გადაწყვიტეთ {l}{7x+18y=43}{2(x-3)+5=y-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x + 18 y = 43 } \\ { 2 ( x - 3 ) + 5 = y - 1 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=1$$

$$y=2$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 x-3-ზე.

$$2x-6+5=y-1$$

შეკრიბეთ -6 და 5, რათა მიიღოთ -1.

$$2x-1=y-1$$

გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$2x-1-y=-1$$

დაამატეთ 1 ორივე მხარეს.

$$2x-y=-1+1$$

შეკრიბეთ -1 და 1, რათა მიიღოთ 0.

$$2x-y=0$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$7x+18y=43,2x-y=0$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$7x+18y=43$$

გამოაკელით 18y განტოლების ორივე მხარეს.

$$7x=-18y+43$$

ორივე მხარე გაყავით 7-ზე.

$$x=\frac{1}{7}\left(-18y+43\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{7}-ზე -18y+43.

$$x=-\frac{18}{7}y+\frac{43}{7}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-18y+43}{7}-ით x მეორე განტოლებაში, 2x-y=0.

$$2\left(-\frac{18}{7}y+\frac{43}{7}\right)-y=0$$

გაამრავლეთ 2-ზე \frac{-18y+43}{7}.

$$-\frac{36}{7}y+\frac{86}{7}-y=0$$

მიუმატეთ -\frac{36y}{7} -y-ს.

$$-\frac{43}{7}y+\frac{86}{7}=0$$

გამოაკელით \frac{86}{7} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{43}{7}y=-\frac{86}{7}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{43}{7}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=2$$

ჩაანაცვლეთ 2-ით y აქ: x=-\frac{18}{7}y+\frac{43}{7}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{18}{7}\times 2+\frac{43}{7}$$

გაამრავლეთ -\frac{18}{7}-ზე 2.

$$x=\frac{-36+43}{7}$$

მიუმატეთ \frac{43}{7} -\frac{36}{7}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=1,y=2$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 x-3-ზე.

$$2x-6+5=y-1$$

შეკრიბეთ -6 და 5, რათა მიიღოთ -1.

$$2x-1=y-1$$

გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$2x-1-y=-1$$

დაამატეთ 1 ორივე მხარეს.

$$2x-y=-1+1$$

შეკრიბეთ -1 და 1, რათა მიიღოთ 0.

$$2x-y=0$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$7x+18y=43,2x-y=0$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7\left(-1\right)-18\times 2}&-\frac{18}{7\left(-1\right)-18\times 2}\\-\frac{2}{7\left(-1\right)-18\times 2}&\frac{7}{7\left(-1\right)-18\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{43}&\frac{18}{43}\\\frac{2}{43}&-\frac{7}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{43}\times 43\\\frac{2}{43}\times 43\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=1,y=2$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 x-3-ზე.

$$2x-6+5=y-1$$

შეკრიბეთ -6 და 5, რათა მიიღოთ -1.

$$2x-1=y-1$$

გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$2x-1-y=-1$$

დაამატეთ 1 ორივე მხარეს.

$$2x-y=-1+1$$

შეკრიბეთ -1 და 1, რათა მიიღოთ 0.

$$2x-y=0$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$7x+18y=43,2x-y=0$$

იმისათვის, რომ 7x და 2x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 7-ზე.

$$2\times 7x+2\times 18y=2\times 43,7\times 2x+7\left(-1\right)y=0$$

გაამარტივეთ.

$$14x+36y=86,14x-7y=0$$

გამოაკელით 14x-7y=0 14x+36y=86-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$14x-14x+36y+7y=86$$

მიუმატეთ 14x -14x-ს. პირობები 14x და -14x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$36y+7y=86$$

მიუმატეთ 36y 7y-ს.

$$43y=86$$

ორივე მხარე გაყავით 43-ზე.

$$y=2$$

ჩაანაცვლეთ 2-ით y აქ: 2x-y=0. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$2x-2=0$$

მიუმატეთ 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=2$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=1,y=2$$